☆ [NOI2014] 魔法森林 「LCT动态维护最小生成树」

题目类型：\(LCT\)动态维护最小生成树

传送门：>Here<

题意：带权无向图，每条边有权值\(a[i],b[i]\)。要求一条从\(1\)到\(N\)的路径，使得这条路径上的\(Max\{a[i]\}+Max\{b[i]\}\)最小

解题思路

\(LCT\)板子打错调试了半个小时……菜到不能再菜了……

首先我们发现题目要求不是最小的和，而是最小的\(Max\{a[i]\}+Max\{b[i]\}\)——都只取决于最大。因此我们可以联想，如果\(Max\{a\}\)确定了，那么余下的就是用所有权值\(a\)不超过\(Max\{a\}\)的边构建一棵以\(b\)为关键字的最小生成树。显然，这样一定能保证答案最优。

因此我们可以考虑将所有边以\(a\)为关键字从小到大排序，由于是从小到大排序的，所以\(Max\{a\}\)一定是最后加入生成树的这条边的\(a\)。余下的就是维护最小生成树了，那么直接用\(LCT\)进行动态维护就好了。如果\(1,N\)已经连通（利用\(findroot\)实现并查集），那么先\(split\)，查询\(Max\{b\}\)，加上目前为止最大的\(Max\{a\}\)更新答案即可。

非常巧妙~~

反思

要抓住题目所说的\(Max\)

另外，\(LCT\)的\(pushup\)中要更新三次，并且每次更新\(mx[x]\)都有可能改变，因此要用\(mx[x]\)而不是\(x\)。

Code

/*By DennyQi 2018*/
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 50010;
const int MAXM = 100010;
const int MAXS = MAXN + MAXM;
const int INF = 1061109567;
inline int Max(const int a, const int b){ return (a > b) ? a : b; }
inline int Min(const int a, const int b){ return (a < b) ? a : b; }
inline int read(){
    int x = 0; int w = 1; register char c = getchar();
    for(; c ^ '-' && (c < '0' || c > '9'); c = getchar());
    if(c == '-') w = -1, c = getchar();
    for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x<<3) + (x<<1) + c - '0'; return x * w;
}
struct Edge{
	int x,y,a,b;
}e[MAXM];
int N,M,ans(INF),maxa;
int val[MAXS],mx[MAXS];
struct LinkCutTree{
	int ch[MAXS][2],fa[MAXS];
	bool tag[MAXS];
	inline bool rson(int f, int x){
		return ch[f][1] == x;
	}
	inline bool isroot(int x){
		return ch[fa[x]][0]!=x && ch[fa[x]][1]!=x;
	}
	inline void pushup(int x){
		mx[x] = x;
		if(val[mx[ch[x][0]]] > val[mx[x]]) mx[x] = mx[ch[x][0]];
		if(val[mx[ch[x][1]]] > val[mx[x]]) mx[x] = mx[ch[x][1]];
	}
	inline void rotate(int x){
		int f = fa[x], gf = fa[f];
		bool p = rson(f,x), q = !p;
		if(!isroot(f)) ch[gf][rson(gf,f)] = x; fa[x] = gf;
		ch[f][p] = ch[x][q], fa[ch[x][q]] = f;
		ch[x][q] = f, fa[f] = x;
		pushup(f), pushup(x);
	}
	void reverse(int x){
		if(!isroot(x)) reverse(fa[x]);
		if(!tag[x]) return;
		tag[x] = 0;
		swap(ch[x][0], ch[x][1]);
		tag[ch[x][0]] ^= 1, tag[ch[x][1]] ^= 1;
	}
	inline void splay(int x){
		for(reverse(x); !isroot(x); rotate(x)){
			if(isroot(fa[x])){ rotate(x); break; }
			if(rson(fa[fa[x]],fa[x]) ^ rson(fa[x],x)) rotate(x); else rotate(fa[x]);
		}
	}
	inline void access(int x){
		for(int y = 0; x; y=x, x = fa[x]) splay(x), ch[x][1] = y, pushup(x);
	}
	inline void mroot(int x){
		access(x), splay(x), tag[x] ^= 1;
	}
	inline int findroot(int x){
		access(x), splay(x);
		while(ch[x][0]) x = ch[x][0];
		return x;
	}
	inline void split(int x, int y){
		mroot(x);
		access(y);
		splay(y);
	}
	inline void link(int x, int y){
		mroot(x);
		fa[x] = y;
	}
	inline void cut(int x, int y){
		split(x,y);
		if(ch[y][0] != x || ch[x][1]) return;
		ch[y][0] = fa[x] = 0;
	}
}qxz;
inline bool cmp(const Edge& a, const Edge& b){
	return a.a < b.a;
}
int main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
	N = read(), M = read();
	for(int i = 1; i <= M; ++i){
		e[i].x = read(), e[i].y = read(), e[i].a = read(), e[i].b = read();
	}
	sort(e+1, e+M+1, cmp);
	for(int i = 1; i <= M; ++i){
		val[N+i] = e[i].b;
		if(qxz.findroot(e[i].x) != qxz.findroot(e[i].y)){
			qxz.link(e[i].x, N+i);
			qxz.link(e[i].y, N+i);
			maxa = e[i].a;
		}
		else{
			qxz.split(e[i].x, e[i].y);
			if(val[mx[e[i].y]] > e[i].b){
				int temp = mx[e[i].y]-N;
				qxz.cut(e[temp].x, temp+N);
				qxz.cut(e[temp].y, temp+N);
				qxz.link(e[i].x, N+i);
				qxz.link(e[i].y, N+i);
				maxa = e[i].a;
			}
		}
		if(qxz.findroot(1) == qxz.findroot(N)){
			qxz.split(1, N);
			ans = Min(ans, maxa + val[mx[N]]);
		}
	}
	if(ans == INF) printf("-1");
	else printf("%d", ans);
	return 0;
}