BSGS及扩展BSGS算法及例题

\(BSGS(baby-step-giant-step)\)算法是用来解高次同余方程的最小非负整数解的算法，即形如这个的方程：

$a^x\equiv b(mod\ p)$
其中$p$为质数（其实只要($(a,p)=1$即可）
首先考虑暴力怎么解：由费马小定理可知$a^{p-1}\equiv 1(mod\ p)$，也就是说如果在$[0,p-1]$内无解的话，方程就是无解的。所以我们从小到大枚举$[0,p-1]$中的每一个数，满足方程就结束。但是这里$p-1$并不一定是最小正周期，这个可以由**[阶](https://baike.baidu.com/item/%E9%98%B6/5214104#5)**的定义推出，有兴趣的同学可以去看一下。
但是这个方法在$p$很大时就$GG$啦，于是我们考虑优化一下：
设$x=im-j$，其中$m=\left \lceil \sqrt{p} \right \rceil$。那么我们开始对方程进行变形：
$a^{im}\equiv a^jb(mod\ p)$
显然，$j$是余数，所以有$0\leqslant j \leqslant m-1$，也就是说右边的值最多只有$m$个，而$i$的最大值也只为$m$。所以我们暴力枚举$j$，把$a^jb$存到$map$或哈希表里，再从小到大暴力枚举$i$，每次在哈希表里查一下有没有$a^jb$使得方程成立就可以辣。
同时，有一个很妙的事情：我们枚举$j$时是从小到大枚举的，每次插入到哈希表头的前面，所以表的越靠前的元素的$j$值是越大的，而我们正好想要$j$尽量大，一石二鸟，每次查到一个值就可以直接$return$了。这样查询的近似复杂度就降到$O(1)$了。
要注意先特判一下$x=0$的情况。
板子代码：
``` cpp
namespace Ha { //哈希表
int tot, h[MOD+5], ne[MOD+5];
ll ha[MOD+5];
void insert(ll x, ll num) { //插入操作
ll t = num%MOD;
p[++tot] = x, ha[tot] = num, ne[tot] = h[t], h[t] = tot;
}
ll query(ll tar) { //查询操作
for(int i = h[tar%MOD]; i != -1; i = ne[i])
if(ha[i] == tar) return p[i];
return -1;
}
}
using namespace Ha;
ll bsgs(ll a, ll b, ll p) {
a %= p, b %= p;
if(a == 0 && b != 0) return -1; //a%p==0时显然无解
if(a == 0 && b == 0) return 1;
if(b == 1) return 0;
ll m = ceil(sqrt((double)p)), q = 1, x = 1;
memset(h, -1, sizeof h); //记得清空
for(ll j = 0; j $ta^{x-cnt}\equiv b'(mod\ c')$，其中$a,c'$互质
然后我们就将它转化为标准的$BSGS$可解决的问题啦。
记得特判一下$x\leqslant cnt$的情况（~~为什么留给读者自己思考~~）
粘一下代码：
```cpp
ll bsgs(ll a, ll b, ll p) {
a %= p, b %= p;
if(a == 0 && b != 0) return -1;
if(a == 0 && b == 0) return 1;
if(b == 1) return 0;
ll d = 1, t = 1, cnt = 0, m = ceil(sqrt(p)), q = 1;
while((d = gcd(a, p)) != 1) {
if(b%d) return -1;
cnt++, b /= d, p /= d, t = t*(a/d)%p;
if(b == t) return cnt; //特判
}
memset(h, -1, sizeof h);
for(ll i = 0; i 放一道例题：洛谷/BZOJ。这应该算是板子了吧→_→

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>

#define MOD 1000007
#define ll long long

int T, k;
ll p[MOD+5];

namespace Ha {
    int tot, h[MOD+5], ne[MOD+5];
    ll ha[MOD+5];
}

using namespace std;
using namespace Ha;

void insert(ll x, ll num) {
    ll t = num%MOD;
    p[++tot] = x, ha[tot] = num, ne[tot] = h[t], h[t] = tot;
}

ll query(ll tar) {
    for(int i = h[tar%MOD]; i != -1; i = ne[i])
        if(ha[i] == tar) return p[i];
    return -1;
}

ll bsgs(ll a, ll b, ll p) {
    a %= p, b %= p;
    if(a == 0) return -1;
    if(b == 1) return 0;
    ll m = ceil(sqrt((double)p)), q = 1, x = 1;
    memset(h, -1, sizeof h);
    for(ll i = 0; i < m; ++i) insert(i, q*b%p), q = q*a%p;
    for(ll i = 1, j; i <= m; ++i) {
        x = x*q%p, j = query(x);
        if(j != -1) return i*m-j;
    }
    return -1;
}

ll fpow(ll x, ll p, ll mod) {
    ll base = x%mod, ret = 1LL;
    while(p) {
        if(p&1) ret = ret*base%mod;
        base = base*base%mod;
        p >>= 1;
    }
    return ret;
}

ll inv(ll x, ll p) {
    return fpow(x, p-2, p);
}

int main() {
    cin >> T >> k;
    ll x, y, z, inv_y, ans;
    while(T--) {
        cin >> x >> y >> z;
        if(k == 1) cout << fpow(x, y, z) << endl;
        else if(k == 2) {
            if(x%z == 0) cout << "Orz, I cannot find x!" << endl;
            else cout << y*inv(x, z)%z << endl;
        }
        else {
            ans = bsgs(x, y, z);
            if(ans == -1) cout << "Orz, I cannot find x!" << endl;
            else cout << ans << endl;
        }
    }
    return 0;
}