[CQOI2014]数三角形

[CQOI2014]数三角形

给定\(n\times m\)的网格，求三个点在其格点上的三角形个数，1<=m,n<=1000。

解

法一：直接

显然为组合计数问题，关键在于划分问题，注意到一个三角形必然会被一个最小的矩形所限制，于是可以以矩形来划分，而现在问题变成对一个矩形内最大的三角形的方案数，显然最大三角形关键在于三角形顶点与矩形顶点之间的关系。

设有一\(a\times b\)矩形，有

1： 三角形有一个顶点在矩形顶点上，有4个矩形顶点可以选择，其余两个三角形顶点可以在剩余两条边自由移动，即\(4\times (a-1)\times (b-1)\)。

2：三角形有两个顶点在矩形同边顶点上，显然可以旋转4次，剩下一个三角顶点可以自由在一条边上移动，即\(2\times(a-1)+2\times(b-1)\)。

3：三角形有两个顶点在矩形对角顶点，此时该点能自由移动，只是不能在对角线上，

---

引理：对角线上的整点个数为gcd(a,b)+1

证明：

对于对角线上最靠近原点（0,0）的点（x,y），对角线上最靠近（x，y）的点必然是（2x，2y），依次类推，于是我们得知x，y必然是互质的，而取得gcd（a，b）即x，y前的系数，也就是除了原点之外的点，故加1及所需。

---

不难得知方案数应为\((a\times b-gcd(a,b)-1)\times 2\)

4：三角形有三个顶点在矩形对角顶点，显然讨论3已经包含了这种情况，故无需再考虑。

综上所诉，

\[ans=(n-a+1)\times(n-b+1)\times[4\times (a-1)\times (b-1)+
\]

\[2\times(a+b-2)+(a\times b-gcd(a,b)-1)\times 2]
\]

枚举计算答案即可。

参考代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define il inline
#define ri register
#define ll long long
using namespace std;
il int gcd(int,int);
int main(){
    int m,n;
    scanf("%d%d",&m,&n);
    ri int i,j;ri ll ans(0);
    for(i=1;i<=m;++i)
        for(j=1;j<=n;++j)
            ans+=(ll)(6*i*j-2*gcd(i,j))*(m+1-i)*(n+1-j);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}
il int gcd(int x,int y){
    return x%y?gcd(y,x%y):y;
}

法二：补集

注意到直接做不好做，于是考虑补集，我们能很轻松求出不限制为三角形的方案数，于是我们考虑不是三角形的方案数，显然在一条直线上，于是考虑枚举直线，而这样我们没办法枚举唯一的斜率，这样会导致重复，于是考虑枚举线段，这样就确定了两个端点，另一个点必然在线段内，而方案数由法一的引理不难得出点数，再将该条线段平移加对称操作，枚举减总方案去即可,但是注意竖直和水平的直线，我们得额外减去其方案数。

所以

\[ans=C_{nm}^3-\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m2\times (gcd(i,j)-1)\times (n-i+1)
\]

\[\times(m-j+1)-m\times C_n^3-n\times C_m^3
\]

参考代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define il inline
#define ri register
#define ll long long
#define swap(x,y) x^=y^=x^=y
using namespace std;
il int gcd(int,int);
int main(){
    int n,m,i,j;ll ans;
    scanf("%d%d",&n,&m),ans=(n+1)*(m+1);
    ans*=(ans-1)*(ans-2),(ans/=3)/=2;
    for(i=1;i<=n;++i)
        for(j=1;j<=m;++j)
            ans-=(gcd(i,j)-1)*(n-i+1)*(m-j+1)<<1;
    ans-=(n+1)*n*(n-1)/3/2*(ll)(m+1),ans-=(m+1)*m*(m-1)/3/2*(ll)(n+1);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}
il int gcd(int a,int b){
    while(b)swap(a,b),b%=a;return a;
}