kb-07-RMQ线段树--07（动态规划）

RMQ是一类解决区间最值查询的算法的通称；、一共有四类；在代码中有说明；

下面是ST算法，就是动态规划做法；

来看一下ST算法是怎么实现的（以最大值为例）：

首先是预处理，用一个DP解决。设a是要求区间最值的数列，f[i,j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7 ,f[1,0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。f[1,2]=5，f[1,3]=8，f[2,0]=2，f[2,1]=4……从这里可以看出f[i,0]其实就等于a[i]。这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。我们把f[i,j]（j≥1）平均分成两段（因为j≥1时，f[i,j]一定是偶数个数字），从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段（长度都为2^（j-1））。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和6,8,1,2这两段。f就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动规方程F[i,j]=max(F[i,j-1],F[i+2^(j-1),j-1])。

接下来是得出最值，也许你想不到计算出f有什么用处，一般要想计算max还是要O(logn)，甚至O(n)。但有一个很好的办法，做到了O(1)。还是分开来。如在上例中我们要求区间[2,8]的最大值，就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间，因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2,2]和f[5,2]得到。扩展到一般情况，就是把区间[l,r]分成两个长度为2^n的区间（保证有f对应）。直接给出表达式：

k:=trunc(ln(r-l+1)/ln(2));

ans:=max(F[l,k],F[r-2^k+1,k]);

这样就计算了从l开始，长度为2^k的区间和从r-2^k+1开始长度为2^k的区间的最大值（表达式比较繁琐，细节问题如加1减1需要仔细考虑），二者中的较大者就是整个区间[l,r]上的最大值。

 /*
 RMQ算法、
 RMQ是一个通称，专指区间求最值的算法；
 分为：暴力，线段树，动态规划（ST），RMQ标准算法；四种
 这一题用普通的线段树也是可以做的，维护区间最大值和区间最小值然后查询区间最值然后做差就行了；
 这里用的是动态规划法就是ST；
  */
 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 using namespace std;
 int n,q;
 int a[]={},d[][]={},dd[][]={};
 void RMQ_inti_min()
 {
     for(int i=;i<n;i++)
     {
         d[i][]=a[i];
     }
     for(int i=;(<<i)<=n;i++)//控制的是第二维；
     {
         for(int j=;j+(<<i)-<n;j++)
         {
              d[j][i]=min(d[j][i-],d[j+(<<(i-))][i-]);
         }
     }
 }
 void RMQ_inti_max()
 {
     for(int i=;i<n;i++)
     {
         dd[i][]=a[i];
     }
     for(int i=;(<<i)<=n;i++)//控制的是第二维；
     {
         for(int j=;j+(<<i)-<n;j++)
         {
              dd[j][i]=max(dd[j][i-],dd[j+(<<(i-))][i-]);
         }
     }
 }
 int RMQ_min(int l,int r)
 {
     int k=;
     while((<<(k+))<=r-l+)
         k++;
     return min(d[l][k],d[r-(<<k)+][k]);
 }
 int RMQ_max(int l,int r)
 {
     int k=;
     while((<<(k+))<=r-l+)
         k++;
     return max(dd[l][k],dd[r-(<<k)+][k]);
 }
 int main()
 {
     while(scanf("%d%d",&n,&q)!=EOF)
     {
         memset(a,,sizeof(a));
         memset(d,,sizeof(d));
         memset(dd,,sizeof(dd));
         for(int i=;i<n;i++)
         {
             scanf("%d",&a[i]);
         }
         RMQ_inti_min();
         RMQ_inti_max();
         for(int i=;i<q;i++)
         {
             int l,r;
             scanf("%d%d",&l,&r);
             int max=RMQ_max(l-,r-);
             int min=RMQ_min(l-,r-);
             printf("%d\n",max-min);
         }
     }
     return ;
 }