从图(Graph)到图卷积(Graph Convolution)：漫谈图神经网络模型 (一)

本文属于图神经网络的系列文章，文章目录如下：

从图(Graph)到图卷积(Graph Convolution)：漫谈图神经网络模型 (一)
从图(Graph)到图卷积(Graph Convolution)：漫谈图神经网络模型 (二)
从图(Graph)到图卷积(Graph Convolution)：漫谈图神经网络模型 (三)

笔者最近看了一些图与图卷积神经网络的论文，深感其强大，但一些Survey或教程默认了读者对图神经网络背景知识的了解，对未学过信号处理的读者不太友好。同时，很多教程只讲是什么，不讲为什么，也没有梳理清楚不同网络结构的区别与设计初衷(Motivation)。

因此，本文试图沿着图神经网络的历史脉络，从最早基于不动点理论的图神经网络(Graph Neural Network， GNN)一步步讲到当前用得最火的图卷积神经网络(Graph Convolutional Neural Network， GCN)，期望通过本文带给读者一些灵感与启示。

本文的提纲与叙述要点主要参考了2篇图神经网络的Survey，分别是来自IEEE Fellow的A Comprehensive Survey on Graph Neural Networks[1] 以及来自清华大学朱文武老师组的Deep Learning on Graphs: A Survey[7]，在这里向两篇Survey的作者表示敬意。
同时，本文关于部分图卷积神经网络的理解很多都是受到知乎问题[8]高赞答案的启发，非常感谢他们的无私分享！
最后，本文还引用了一些来自互联网的生动形象的图片，在这里也向这些图片的作者表示感谢。本文中未注明出处的图片均为笔者制作，如需转载或引用请联系本人。

历史脉络

在开始正文之前，笔者先带大家回顾一下图神经网络的发展历史。不过，因为图神经网络的发展分支非常之多，笔者某些叙述可能并不全面，一家之言仅供各位读者参考：

图神经网络的概念最早在2005年提出。2009年Franco博士在其论文 [2]中定义了图神经网络的理论基础，笔者呆会要讲的第一种图神经网络也是基于这篇论文。
最早的GNN主要解决的还是如分子结构分类等严格意义上的图论问题。但实际上欧式空间(比如像图像 Image)或者是序列(比如像文本 Text)，许多常见场景也都可以转换成图(Graph)，然后就能使用图神经网络技术来建模。
2009年后图神经网络也陆续有一些相关研究，但没有太大波澜。直到2013年，在图信号处理(Graph Signal Processing)的基础上，Bruna(这位是LeCun的学生)在文献 [3]中首次提出图上的基于频域(Spectral-domain)和基于空域(Spatial-domain)的卷积神经网络。
其后至今，学界提出了很多基于空域的图卷积方式，也有不少学者试图通过统一的框架将前人的工作统一起来。而基于频域的工作相对较少，只受到部分学者的青睐。
值得一提的是，图神经网络与图表示学习(Represent Learning for Graph)的发展历程也惊人地相似。2014年，在word2vec [4]的启发下，Perozzi等人提出了DeepWalk [5]，开启了深度学习时代图表示学习的大门。更有趣的是，就在几乎一样的时间，Bordes等人提出了大名鼎鼎的TransE [6]，为知识图谱的分布式表示(Represent Learning for Knowledge Graph)奠定了基础。

图神经网络(Graph Neural Network)

首先要澄清一点，除非特别指明，本文中所提到的图均指图论中的图(Graph)。它是一种由若干个结点(Node)及连接两个结点的边(Edge)所构成的图形，用于刻画不同结点之间的关系。下面是一个生动的例子，图片来自论文[7]:

状态更新与输出

最早的图神经网络起源于Franco博士的论文[2], 它的理论基础是不动点理论。给定一张图 $G$，每个结点都有其自己的特征(feature), 本文中用$\mathbf{x}_v$表示结点v的特征；连接两个结点的边也有自己的特征，本文中用$\mathbf{x}_{(v,u)}$表示结点v与结点u之间边的特征；GNN的学习目标是获得每个结点的图感知的隐藏状态 $\mathbf{h}_v$(state embedding)，这就意味着：对于每个节点，它的隐藏状态包含了来自邻居节点的信息。那么，如何让每个结点都感知到图上其他的结点呢？GNN通过迭代式更新所有结点的隐藏状态来实现，在$t+1$时刻，结点$v$的隐藏状态按照如下方式更新：