洛谷P3723 [AH2017/HNOI2017]礼物（FFT）

传送门

首先，两个数同时增加自然数值相当于只有其中一个数增加（此增加量可以小于0）

我们令$x$为当前的增加量，${a},{b}$分别为旋转后的两个数列，那么$$ans=\sum_{i=1}^n(a_i+x-b_i)^2$$

然后把第$i$项提出来并展开，可得$$(a_i+x-b_i)^2=a_i^2+b_i^2+x^2+2xa_i-2xb_i-2a_ib_i$$

那么答案就是$$ans=\sum_{i=1}^na_i^2+\sum_{i=1}^nb_i^2+nx^2+2x(\sum_{i=1}^na_i+\sum_{i=1}^nb_i)-2\sum_{i=1}^na_ib_i$$

然后发现，答案里面只有最后一项与$a,b$的顺序有关（也就是旋转成了什么样子），前面的项都是常数（对同一个$x$来说），那么我们只要令$\sum_{i=1}^na_ib_i$最大就能让答案最小了

我们考虑一下，如果把数列$b$给反过来，那么最后一项就变成了$\sum_{i=1}^na_ib_{n-i+1}$，这是一个卷积的形式，可以直接用FFT计算1$项的系数）

那么我们把数列$b$反过来，然后把数列$a$倍长，那么两式卷积之后第$n+1$到第$2n$项里面最大值就是最大的$\sum_{i=1}^na_ib_i$

于是只要枚举一下$x$和旋转（多项式的第几项）就好了

 //minamoto
 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #define ll long long
 #define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
 using namespace std;
 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
 char buf[<<],*p1=buf,*p2=buf;
 template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,:;}
 inline int read(){
     #define num ch-'0'
     char ch;bool flag=;int res;
     while(!isdigit(ch=getc()))
     (ch=='-')&&(flag=true);
     for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*+num);
     (flag)&&(res=-res);
     #undef num
     return res;
 }
 const int N=;const double Pi=acos(-1.0);
 struct complex{
     double x,y;
     complex(double xx=,double yy=){x=xx,y=yy;}
     inline complex operator +(complex b){return complex(x+b.x,y+b.y);}
     inline complex operator -(complex b){return complex(x-b.x,y-b.y);}
     inline complex operator *(complex b){return complex(x*b.x-y*b.y,x*b.y+y*b.x);}
 }A[N],B[N];
 int n,m,l,r[N],limit=,a[N],b[N];ll a1,a2,b1,b2,ans=inf;
 void FFT(complex *A,int type){
     for(int i=;i<limit;++i)
     if(i<r[i]) swap(A[i],A[r[i]]);
     for(int mid=;mid<limit;mid<<=){
         complex Wn(cos(Pi/mid),type*sin(Pi/mid));
         for(int R=mid<<,j=;j<limit;j+=R){
             complex w(,);
             for(int k=;k<mid;++k,w=w*Wn){
                 complex x=A[j+k],y=w*A[j+mid+k];
                 A[j+k]=x+y,A[j+mid+k]=x-y;
             }
         }
     }
 }
 int main(){
 //    freopen("testdata.in","r",stdin);
     n=read(),m=read();
     for(int i=;i<=n;++i)
     a[i]=read(),a1+=a[i]*a[i],a2+=a[i];
     for(int i=;i<=n;++i)
     b[i]=read(),b1+=b[i]*b[i],b2+=b[i];
     for(int i=;i<=n;++i)
     A[i].x=A[i+n].x=a[i],B[i].x=b[n-i+];
     while(limit<=(n*)) limit<<=,++l;
     for(int i=;i<limit;++i)
     r[i]=(r[i>>]>>)|((i&)<<(l-));
     FFT(A,),FFT(B,);
     for(int i=;i<limit;++i) A[i]=A[i]*B[i];
     FFT(A,-);
     for(int i=;i<limit;++i) A[i].x=(ll)(A[i].x/limit+0.5);
     for(int i=;i<=n;++i)
     for(int j=-m;j<=m;++j)
     cmin(ans,a1+b1+j*j*n+2ll*j*(a2-b2)-2ll*(ll)A[n+i].x);
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }