我们以最简单的一元线性模型来解释最小二乘法。什么是一元线性模型呢? 监督学习中,如果预测的变量是离散的,我们称其为分类(如决策树,支持向量机等),如果预测的变量是连续的,我们称其为回归。回归分析中,如果只包括一个自变量和一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量,且因变量和自变量之间是线性关系,则称为多元线性回归分析。对于二维空间线性是一条直线;对于三维空间线性是一个平面,对于多维空间线性是一个超平面...

对于一元线性回归模型, 假设从总体中获取了n组观察值(X1,Y1),(X2,Y2), …,(Xn,Yn)。对于平面中的这n个点,可以使用无数条曲线来拟合。要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看,这条直线处于样本数据的中心位置最合理。 选择最佳拟合曲线的标准可以确定为:使总的拟合误差(即总残差)达到最小。有以下三个标准可以选择:

(1)用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。
        (2)用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。
        (3)最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外,得到的估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏感。

  最常用的是普通最小二乘法( Ordinary  Least Square,OLS):所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小。(Q为残差平方和)- 即采用平方损失函数。

 样本回归模型:

                   其中ei为样本(Xi, Yi)的误差

平方损失函数:

则通过Q最小确定这条直线,即确定,以为变量,把它们看作是Q的函数,就变成了一个求极值的问题,可以通过求导数得到。求Q对两个待估参数的偏导数:

根据数学知识我们知道,函数的极值点为偏导为0的点。

解得:

这就是最小二乘法的解法,就是求得平方损失函数的极值点。

    LeastSquare(const vector<double>& x, const vector<double>& y)
{
double t1=, t2=, t3=, t4=;
for(int i=; i<x.size(); ++i)
{
t1 += x[i]*x[i];
t2 += x[i];
t3 += x[i]*y[i];
t4 += y[i];
}
a = (t3*x.size() - t2*t4) / (t1*x.size() - t2*t2); // 求得β1
b = (t1*t4 - t2*t3) / (t1*x.size() - t2*t2); // 求得β2
}

最小二乘法 
    设经验 
方程是y=F(x),方程中含有一些待定系数an,给出真实值{(xi,yi)|i=1,2,...n},将这些x,y值代入方程然后作 
差,可以描述误差:yi-F(xi),为了考虑整体的误差,可以取平方和,之所以要平方是考虑到误差可正可负直接相加可以相互抵消,所以记误差为:

e=∑(yi-F(xi))^2

它是一个多元函数,有an共n个未知量,现在要求的是最小值。所以必然满足对各变量的偏导等于0,于是得到n个方程:

de/da1=0 
de/da2=0 
... 
de/dan=0

n个方程确定n个未知量为常量是理论上可以解出来的。用这种误差分析的方法进行回归方程的方法就是最小二乘法。

线性回归 
如果经验方程是线性的,形如y=ax+b,就是线性回归。按上面的分析,误差函数为:

e=∑(yi-axi-b)^2

各偏导为:

de/da=2∑(yi-axi-b)xi=0 
de/db=-2∑(yi-axi-b)=0

于是得到关于a,b的线性方程组:

(∑xi^2)a+(∑xi)b=∑yixi 
(∑xi)a+nb=∑yi

设A=∑xi^2,B=∑xi,C=∑yixi,D=∑yi,则方程化为:

Aa+Bb=C 
Ba+nb=D

解出a,b得:

a=(Cn-BD)/(An-BB) 
b=(AD-CB)/(An-BB)

#include  <stdlib.h>
#include <iostream>
#include <valarray>
using namespace std;
int main(int argc, char *argv[])
{
int num = ;
cout << " Input how many numbers you want to calculate:";
cin >> num;
valarray<double> data_x(num);
valarray<double> data_y(num);
while( num )
{
cout << "Input the "<< num <<" of x:";
cin >> data_x[num-];
cout << "Input the "<< num <<" of y:";
cin >> data_y[num-];
num--;
}
double A =0.0;
double B =0.0;
double C =0.0;
double D =0.0;
A = (data_x*data_x).sum();
B = data_x.sum();
C = (data_x*data_y).sum();
D = data_y.sum();
double k,b,tmp =;
if(tmp=(A*data_x.size()-B*B))
{
k = (C*data_x.size()-B*D)/tmp;
b = (A*D-C*B)/tmp;
}
else
{
k=;
b=;
}
cout <<"k="<<k<<endl;
cout <<"b="<<b<<endl;
return ;
}

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