2017 [六省联考] T5 分手是祝愿

4872: [Shoi2017]分手是祝愿

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Description

Zeit und Raum trennen dich und mich.

时空将你我分开。B 君在玩一个游戏，这个游戏由 n 个灯和 n 个开关组成，给定这 n 个灯的初始状态，下标为

从 1 到 n 的正整数。每个灯有两个状态亮和灭，我们用 1 来表示这个灯是亮的，用 0 表示这个灯是灭的，游戏

的目标是使所有灯都灭掉。但是当操作第 i 个开关时，所有编号为 i 的约数（包括 1 和 i）的灯的状态都会被

改变，即从亮变成灭，或者是从灭变成亮。B 君发现这个游戏很难，于是想到了这样的一个策略，每次等概率随机

操作一个开关，直到所有灯都灭掉。这个策略需要的操作次数很多， B 君想到这样的一个优化。如果当前局面，

可以通过操作小于等于 k 个开关使所有灯都灭掉，那么他将不再随机，直接选择操作次数最小的操作方法（这个

策略显然小于等于 k 步）操作这些开关。B 君想知道按照这个策略（也就是先随机操作，最后小于等于 k 步，使

用操作次数最小的操作方法）的操作次数的期望。这个期望可能很大，但是 B 君发现这个期望乘以 n 的阶乘一定

是整数，所以他只需要知道这个整数对 100003 取模之后的结果。

Input

第一行两个整数 n, k。

接下来一行 n 个整数，每个整数是 0 或者 1，其中第 i 个整数表示第 i 个灯的初始情况。

1 ≤ n ≤ 100000, 0 ≤ k ≤ n；

Output

输出一行，为操作次数的期望乘以 n 的阶乘对 100003 取模之后的结果。

Sample Input

4 0
0 0 1 1

Sample Output

512

HINT

 

Source

黑吉辽沪冀晋六省联考

 

首先一个状态最少需要多少步是可以 O(N log N)算出来的，调和级数一下就好了。

而且我们可以发现，对于每一个状态，用最小步数关掉所有灯的方案是唯一的，考虑从后向前扫描，是1就动否则不动，总是最优的。

然后我们就设 f[i] 为关掉所有灯的最小步数为i的期望答案。

显然 当i<=k的时候，f[i]=i；其他情况，f[i] = (i/n) * f[i-1] + ((n-i)/n) * f[i+1] 。

为什么随机的式子是长那个样子的呢？

前面已经证明了对于每一个状态，最小步数关掉所有灯的方案是唯一的。

而又因为按灯的顺序不影响答案，所以有(i/n)的几率最短步数减少；

但如果没有按最短路上的灯，首先最短步数不会减少，因为最短路唯一；

而且也不会不变，因为如果还按原来的套路按灯的话最后不会都灭；

那么按了不是最短方案的灯，会让最短步数增加多少呢？

只能是1，因为可以再按一步回去。

 

我们可以发现的是，f[n] = f[n-1] + 1。

通过这个向前推，可以推出形如f[i] = f[i-1] + h[i]的式子，并且h[i] = (n / i) (1 + h[i+1] * (n-i) / n) 。

 

然后就可以直接从前往后递推了，对于i<=k,f[i] = i；否则, f[i] = f[i-1] + h[i] 。

然后就可以A了2333

 

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define maxn 100005
#define ha 100003
using namespace std;
int n,k,T,a[maxn],opt[maxn];
int f[maxn],jc=1,inv[maxn],h[maxn];

inline int add(int x,int y){
	x+=y;
	return x>=ha?x-ha:x;
}

inline void init(){
	inv[1]=1;
	for(int i=2;i<ha;i++) inv[i]=-inv[ha%i]*(ll)(ha/i)%ha+ha;
}

int main(){
	init();

	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",a+i),jc=jc*(ll)i%ha;
	for(int i=n;i;i--){
		for(int j=i<<1;j<=n;j+=i) a[i]^=opt[j];
		if(a[i]) opt[i]=1,T++;
	}

	f[0]=0;
	for(int i=1;i<=k;i++) f[i]=i;
	h[n]=1;
	for(int i=n-1;i;i--) h[i]=add(n*(ll)inv[i]%ha,h[i+1]*(ll)(n-i)%ha*(ll)inv[i]%ha);
	for(int i=k+1;i<=T;i++) f[i]=add(f[i-1],h[i]);

	printf("%d\n",f[T]*(ll)jc%ha);
	return 0;
}