题解 最长上升序列2 — LIS2

最长上升序列2 — LIS2

Description

已知一个 1 ∼ N 的排列的最长上升子序列长度为 K ，求合法的排列个数。

Input

输入一行二个整数 N , K ( K ≤ N ≤ 15) 。

Output

输出一行一个整数，描述合法的排列个数。

Sample Input

15 8

Sample Output

37558353900

解析

这题...额...还是得打记搜.

首先,让我们回顾一下求最长上升序列的二分的方法吧(神犇可自动跳过当然神犇可能不需要看本蒟蒻的题解)

我们维护一个类似于栈的数组$q$(其实是序列但为了方便懒得打字后面就称作栈吧)

令$q[i]$表示长度为$i$的序列的最后一个元素,

那么,从$1$~$n$枚举,每次在$q$中寻找第一个大于$a[i]$(即权值)的元素,

再用$a[i]$去更新它,并且它的下标就是以$a[i]$结尾的最长上升序列.

最后,再从$1$~$n$扫一遍,取最大值就行了.

那么,回到这题,

我们在搜索时,保留三个信息$s$,\(t\),\(len\),

$s$表示栈中的信息,$t$表示每个数字是否被选中,$len$表示最长上升子序列,

并且,\(s\),$t$都可以状压,

对于$s$,用一个三进制数表示,0表示未考虑,1表示已被更新,2表示目前在栈中,

对于$t$,用二进制数表示就行了,0表示已选,1表示未选.

那么,初始状态就是(0,(1<<\(n\))-1,0),

接下来,考虑状态转移.

枚举$t$中的每个二进制位为1的数,并更新$q$(就是那个栈),

再搜索下一层,

当$t$等于0,即每个数都被选时,如果$len$等于$k$,就返回1,

如果当前的$s$已经被搜过,就直接返回就行了.

还有什么不明白的就看代码吧:

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#define ll long long
using namespace std;

inline int read(){
	int sum=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch>'9' || ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0' && ch<='9'){sum=sum*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return f*sum;
}

int n,m;
ll f[15000001];
int a[1<<15]/*状态对应的数字*/,p[16]/*3的指数*/;
int q[10001]/*栈*/;

ll dfs(int s/*栈的状态*/,int t/*数字被选的状态*/,int len/*最长上升序列的长度*/){
	if(!t) return len==m;//每个数都被选了
	if(f[s]!=-1) return f[s];
	f[s]=0;int pos=0,tt=t;
	while(t){
		int k=t&-t;t^=k;//用lowbit寻找二进制位为1的状态
		while(pos<len&&q[pos+1]<a[k]) pos++;
		int l=q[pos+1];
		q[pos+1]=a[k];//寻找并更新栈
		f[s]+=dfs(s+2*p[a[k]]-p[l],tt^k,len+(pos==len));
		q[pos+1]=l;//回溯
	}
	return f[s];
}

int main(){
	n=read();m=read();//m就是k,不过写习惯了[滑稽]
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[1<<(i-1)]=i;//预处理,状态所代表的数
		p[i]= i==1? 1:p[i-1]*3;//三的指数
	}
	memset(f,0xff,sizeof(f));
	printf("%lld\n",dfs(0,(1<<n)-1,0));
	return 0;
}