Comet OJ - Contest #10 鱼跃龙门 exgcd+推导

考试的时候推出来了，但是忘了 $exgcd$ 咋求，成功爆蛋~

这里给出一个求最小正整数解的模板：

ll solve(ll A,ll B,ll C)
{
    ll x,y,g,b,ans;
    gcd = exgcd(A,B,x,y);
    if(C%gcd!=0) return -1;
    x*=C/gcd,B/=gcd;
    if(B<0) B=-B;
    ans=x%B;
    if(ans<=0) ans+=B;
    return ans;
}

大概就是这样.

说一下题：

可以将题目转化成求 $\frac{ans(ans+1)}{2}\mod n=0$ 的最小 $ans$.
将式子转化一下，即 $ans(ans+1)=2n\times y$，其中 $y$ 是个整数.
易得 $ans$ 与 $ans+1$ 是互质的，所以 $2n$ 中每一种不同的质因子只能贡献给 $ans,ans+1$ 中的一个.
而 $10^{12}$ 以内的数字最多只会有不到十多个本质不同的质因子，所以可以枚举子集.
考虑枚举出 $A$ 和 $B$，令 $A\times x=ans,B\times y=ans+1$.
则需要满足 $Ax-By=-1,gcd(x,y)=1$
但其实我们发现 $gcd(x,y)=1$ 是不用判的，因位如果等式成立，则 $gcd(x,y)$ 就一定是 $1$.
那么，我们只需找到 $Ax-By=-1$ 的最小 $x$ 正整数解就行了.
这个可以用 $exgcd$ 直接求，但是有一些细节需要注意：

1. $A,B$ 都需要大于 $0$.
2. 我们想求 $x$，所以 $y$ 到底是多少我们是不关心的，直接无视掉就好.

Code:

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define N 1000006
#define inf 100000000000000000
#define ll long long
#define LL long long
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin)
using namespace std;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ll ans=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll tmp=x;
    x=y,y=tmp-a/b*y;
    return ans;
}
vector<ll>v;
int tot;
int prime[N],is[N];
void init()
{
    int i,j;
    for(i=2;i<N;++i)
    {
        if(!is[i]) prime[++tot]=i;
        for(j=1;j<=tot&&1ll*prime[j]*i<1ll*N;++j)
        {
            is[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
ll solve(ll A,ll B)
{
    ll x,y,g,b,ans;
    g = exgcd(A,B,x,y);
    if(-1%g) return inf;
    x*=-1/g,y*=g;
    B/=g;
    if(B<0) B=-B;
    ans=x%B;
    if(ans<=0) ans+=B;
    return ans*A;
}
int main()
{
    // setIO("input");
    init();
    int T,i,j;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        ll n,h,answer=inf;
        scanf("%lld",&n),h=n;
        for(i=1;i<=tot;++i)
        {
            if(h%prime[i]==0)
            {
                ll kk=1;
                while(h%prime[i]==0)
                {
                    h/=prime[i];
                    kk*=prime[i];
                }
                v.push_back(kk);
            }
        }
        if(h) v.push_back(h);
        int len=v.size();
        for(i=0;i<(1<<len);++i) // 枚举所有子集
        {
            ll tmp=1;
            for(j=0;(1<<j)<=i;++j)
            {
                if(i&(1<<j))
                    tmp*=v[j];
            }
            ll A=tmp,B=2*n/tmp;
            answer=min(answer,min(solve(A,B),solve(B,A)));
        }
        printf("%lld\n",answer);
        v.clear();
    }
    return 0;
}