BZOJ1101——莫比乌斯函数&&入门

题目

链接

有$50000$次查询，对于给定的整数$a,b$和$d$，有多少正整数对$x$和$y$，满足$x \leq a$，$y \leq b$，并且$gcd(x, y)=d$。$1 \leq k \leq a,b \leq 50000$.

分析

求有多少对$(x,y)$满足$x \leq a$，$y \leq b$，并且 $gcd(x, y)=d$，等价于求有多少对$(x, y)$满足$x \leq \frac{a}{d}, y \leq \frac{b}{d}$并且$x, y$互质.

设$D(a, b, d)$表示满足$x \leq a, y \leq b$且$d | gcd(x, y)$的二元组的对数。显然只要$x, y$都是$d$的倍数即可。$1 \sim a$之间$d$的倍数有$\left \lfloor \frac{a}{d} \right \rfloor$个。故$D(a, b, d) = \left \lfloor \frac{a}{d} \right \rfloor \left \lfloor \frac{b}{d} \right \rfloor$.

设$F(a, b)$ 表示满足$x \leq a$，$y \leq b$ 且 $x, y$互质的二元组的对数。根据容斥原理：

$$F(a,b)=\sum_{i=1}^{min(a,b)} \mu(i)*D(a,b,i)$$

上式的意思是，没有任何限制的二元组总数为 $D(a, b, 1)=a*b$，应该减去$gcd(a, b)$是$2,3,5 \cdots$的倍数的二元组数量，这样又重复减掉了$gcd(a, b)$既是$2$的倍数、又是$3$的倍数的二元组数量，应该加回来。依此类推，$D(a, b, i)$的系数恰好就是莫比乌斯函数.

由整除分块的知识，我们知道：$\forall i \in [x, min(\left \lfloor a/ \left \lfloor a/x \right \rfloor \right \rfloor), \left \lfloor b/\left \lfloor b/x \right \rfloor \right \rfloor]$，$D(a,b,i)=\left \lfloor a/i \right \rfloor\left \lfloor b/i \right \rfloor$ 的值都是相等的，预处理出莫比乌斯函数的前缀和，即可直接累加这一段的答案。这样的段只有$O(2\sqrt{min(a,b)})$个.

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;

 const int maxn =  + ;
 int miu[maxn],vis[maxn], smiu[maxn];

 void getmiu(int n)
 {
     for(int i=;i <= n;i++)  miu[i]=, vis[i];
     for(int i=;i <= n;i++)
     {
         if(vis[i])  continue;
         miu[i] = -;    //i没有被访问，说明i是素数
         for(int j = *i; j <= n;j += i)
         {
             vis[j] = ;
             if(j % (i*i) == )  miu[j] = ;  //含有平方因子
             else  miu[j] *= -;
         }
     }

     for(int i = ;i <= n;i++)  smiu[i] = smiu[i-] + miu[i];
 }

 int f(int a, int b)
 {
     int ans = ;
     for(int l=, r; l <= min(a, b);l = r+)
     {
         r = min(a / (a / l), b / (b / l));
         ans += (smiu[r] - smiu[l-]) * (a/l) * (b/l);   //按段累加
         //printf("%d  %d\n", l, r);
     }
     printf("%d\n", ans);
 }

 int main()
 {
     int T;
     scanf("%d", &T);
     getmiu(maxn);
     //for(int i=1; i <= 20;i++)  printf("%d\n", miu[i]);
     while(T--)
     {
         int a, b, k;
         scanf("%d%d%d", &a, &b, &k);
         f(a/k, b/k);
     }
     return ;
 }