HDU4254 A Famous Game

luogu嘟嘟嘟




这题刚开始特别容易理解错：直接枚举所有\(n + 1\)种情况，然后算哪一种情况合法，再统计答案。

上述思想的问题就在于我们从已知的结果出发，默认这种每一种情况中取出\(q\)个红球，\(p -q\)个蓝球的概率是1，但实际上无法保证取出的红球或是蓝球的数量刚好是这些。

那应该是啥咧，设袋中红球数量是\(i\)，则蓝球就是\(n - i\)，那么这种取法的概率是\(\frac{C_{i} ^ {q} * C_{n - i} ^ {p - q}}{C_{n} ^ {p}}\)，记为\(p1(i)\)。

在这个条件下，我们再乘以\((i - q) / (n - p)\)，才是再取一个球是红球的概率，记为\(p2(i)\)。

如果直接输出\(\sum p2(i)\)，那表示的是取出\(p\)个球是任意球的情况下的概率，所以根据条件概率公式，我们应该再除以一个上面的\(\sum p1(i)\)。




还有一个问题，组合数太大，又没有取模。这里有一个trick，就是观察到算出来的概率很小（小于1），因此我们算组合数的时候都取一个log，然后算答案的时候再乘方回来就妥了。




（其实这题可以\(O(1)\)做，答案是\(\frac{q + 1}{p + 2}\)，但这个我实在推不出来）

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<assert.h>
using namespace std;
#define enter puts("")
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 1e5 + 5;
In ll read()
{
  ll ans = 0;
  char ch = getchar(), last = ' ';
  while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
  while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
  if(last == '-') ans = -ans;
  return ans;
}
In void write(ll x)
{
  if(x < 0) x = -x, putchar('-');
  if(x >= 10) write(x / 10);
  putchar(x % 10 + '0');
}
In void MYFILE()
{
#ifndef mrclr
  freopen(".in", "r", stdin);
  freopen(".out", "w", stdout);
#endif
}

int n, p, q;
int a[maxn], b[maxn];

db f[maxn];
In db logC(int n, int m) {return f[n] - f[m] - f[n - m];}

int main()
{
  //MYFILE();
  int T = 0;
  for(int i = 1; i < maxn; ++i) f[i] = f[i - 1] + log(1.0 * i);
  while(scanf("%d%d%d", &n, &p, &q) != EOF)
    {
      db a = 0, b = 0;
      for(int i = q; i <= n - p + q; ++i)
	{
	  int j = n - i;
	  db tp1 = exp(logC(i, q) + logC(n - i, p - q) - logC(n, p));
	  db tp2 = (i * 1.0 - q) / (n - p);
	  a += tp1 * tp2, b += tp1;
	}
      printf("Case %d: %.4lf\n", ++T, a / b);
      // printf("%.4lf\n", (q + 1.0) / (p + 2));
    }
  return 0;
}