牛客训练21674——牛牛与LCM

Problem

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/21674
来源：牛客网

牛牛最近在学习初等数论，他的数学老师给他出了一道题，他觉得太简单了， 懒得做，于是交给了你，

题目是这样的：

有一堆数，问你能否从中选出若干个数使得这些数的最小公倍数为x

输入描述:

第一行输入一个整数n (1 ≤ n ≤ 50)
第二行输入n个整数ai (1 ≤ ai ≤ 109)
第三行输入一个整数x (2 ≤ x ≤ 109)

输出描述:

如果可以，输出"Possible"
否则输出"Impossible"

输入1

4
2 3 4 5
20

输出1

Possible

输入2

3
2 3 4
611

输出2

Impossible

输入3

3
2 3 4
12

输出3

Possible

输入4

10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
24

输出4

Possible

备注:

子任务1：x <= 1000
子任务2：x <= 1000000
子任务3：无限制

Solve

既然要找最小公倍数x，那么a[i]必须是x的因子。

这些x的因子a[i]的最小公倍数lcm如果能够被x整除，那么这个x就一定能被取到。

为什么呢？

比如\(x=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_s^{\alpha_s}\)

那么\(a[i]=p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}\cdots p_s^{\beta_s},\,\,\beta_i<\alpha_i\)

如果lcm正好是x的倍数，那么一定可以对于每一个素数，lcm的指数一定不小于x的指数，而每一个a[i]的指数都小于x的指数。

公倍数是所有指标里面取最大值，因此这个lcm最大就是x！

因此lcm==x就有解！

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

int gcd(int a,int b){
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

int a[100];

int main()
{
    int n,x;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    scanf("%d",&x);
    ll lcm=1;
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(x%a[i]==0){
            lcm=(ll)a[i]*lcm/gcd(a[i],lcm);
        }
    }
    if(lcm==x){
        cout<<"Possible"<<endl;
    }else{
        cout<<"Impossible"<<endl;
    }
    return 0;
}