P5431 【模板】乘法逆元2

洛谷题目链接

刚开始做乘法逆元还是有点懵逼的~

以下式子都在模\(p\)意义下进行

我们把式子改一下，变成：$$\sum\limits_{i=1}^nki\times a_i^{-1}$$

我们先算出\(a_i\)的前缀积：$$s[i]=s[i-1]\times a_i$$

我们发现只要算出每一个前缀积的逆元\(t_i\)，每一个\(a_i\)的逆元都好求了：$$a_i^{-1}=t_i\times s_{i-1}$$

那么怎么求每一个前缀积的逆元呢，我们可以先把$t_n运用费马小定理求出来： $$t_n=s_n^{p-2}$$

再根据：$$t_i=t_{i+1}*a_{i+1}$$

递推出所有的\(t\)

这样就把所有的逆元\(O(n)\)求出来了，我们再把原式变形：$$a_1^{-1}k1+a_2^{-1}k2+\cdots+a_{n-1}^{-1}k{n-1}+a_n^{-1}kn$$

\[k(a_1^{-1}+k(a_2^{-1}+\cdots+k(a_{n-1}^{-1}+a_n^{-1}k)))
\]

我们就可以\(O(n)\)求出答案啦~~~

接下来是美滋滋的代码时间~~~（必须用快读。。）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define int long long
#define N 5000007
using namespace std;
int n,p,k;
int s[N],a[N],inv_s[N];
int Read()
{
	int fu=1,ret=0;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9')
	{
		if(c=='-')
			fu=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9')
	{
		ret=(ret<<3)+(ret<<1)+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return ret*fu;
}
int qpow(int a,int b)
{
	int ans=1,res=a;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			ans=(ans*res)%p;
		res=(res*res)%p;
		b/=2;
	}
	return ans%p;
}
signed main()
{
	n=Read(),p=Read(),k=Read();
	s[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		a[i]=Read();
		s[i]=(s[i-1]*a[i])%p;
	}
	inv_s[n]=qpow(s[n],p-2);
	for(int i=n-1;i>=1;--i)
		inv_s[i]=(inv_s[i+1]*a[i+1])%p;
	int ans=0;
	for(int i=n;i>=1;--i)
		ans=((inv_s[i]*s[i-1])%p+ans)*k%p;
	printf("%lld\n",(ans+p)%p);
	return 0;
}