BZOJ 1010 玩具装箱(斜率优化DP)
dp[i]=min(dp[j]+(sum[i]-sum[j]+i-j-1-L)^2) (j<i)
令f[i]=sum[i]+i,c=1+l
则dp[i]=min(dp[j]+(f[i]-f[j]-c)^2)
1.证明决策单调性
假设在状态i处的k决策优与j决策,即
dp[k]+(f[i]-f[k]-c)^2<=dp[j]+(f[i]-f[j]-c)^2
则对于i后的所有状态t,要证明决策单调性
即dp[k]+(f[t]-f[k]-c)^2<=dp[j]+(f[t]-f[j]-c)^2
只要证
dp[k]+(f[i]+v-f[k]-c)^2<=dp[j]+(f[i]+v-f[j]-c)^2
只要证
dp[k]+(f[i]-f[k]-c)^2+2*v*(f[i]-f[k]-c)+v^2<=dp[j]+(f[i]-f[j]-c)^2+2*v*(f[i]-f[j]-c)+v^2
只要证
2*v*(f[i]-f[k]-c)<=2*v*(f[i]-f[j]-c)
即f[k]>=f[j](显然)
证明完毕
2.求斜率方程
因为dp[k]+(f[i]-f[k]-c)^2<=dp[j]+(f[i]-f[j]-c)^2
展开
dp[k]+f[i]^2-2*f[i]*(f[k]+c)+(f[k]+c)^2<=dp[j]+f[i]^2-2*f[i]*(f[j]+c)+(f[j]+c)^2
即
dp[k]-2*f[i]*(f[k]+c)+(f[k]+c)^2<=dp[j]-2*f[i]*(f[j]+c)+(f[j]+c)^2
即(dp[k]+(f[k]+c)^2-dp[j]-(f[j]+c)^2)/2*(f[k]-f[j])<=f[i]
f[i]是单调递增的,我们使用队列维护一个下凸壳,每次取出队头作为决策
加入决策i时,令队尾为q[r],前一个为q[r-1]
满足斜率(q[r],i)<斜率(q[r-1],q[r])时,显然队尾是无效的,将其弹出
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 1000000000
#define ll long long
using namespace std;
ll read()
{
ll x=,f=;char ch=getchar();
while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
while(ch>=''&&ch<=''){x=x*+ch-'';ch=getchar();}
return x*f;
}
int n,L,l,r;
int c[],q[];
ll s[],f[],C;
double slop(int j,int k)
{
return (f[k]-f[j]+(s[k]+C)*(s[k]+C)-(s[j]+C)*(s[j]+C))/(2.0*(s[k]-s[j]));
}
void dp()
{
l=;r=;q[++r]=;
for(int i=;i<=n;i++)
{
while(l<r&&slop(q[l],q[l+])<=s[i])l++;
int t=q[l];
f[i]=f[t]+(s[i]-s[t]-C)*(s[i]-s[t]-C);
while(l<r&&slop(q[r],i)<slop(q[r-],q[r]))r--;
q[++r]=i;
}
}
int main()
{
n=read();L=read();C=L+;
for(int i=;i<=n;i++)c[i]=read();
for(int i=;i<=n;i++)s[i]=s[i-]+c[i];
for(int i=;i<=n;i++)s[i]+=i;
dp();
printf("%lld\n",f[n]);
return ;
}
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