KNIGHTS - Knights of the Round Table 圆桌骑士 点双 + 二分图判定

～～～题面～～～

题解：

　　考场上只想到了找点双，，，，然后不知道怎么处理奇环的问题。

　　我们考虑对图取补集，这样两点之间连边就代表它们可以相邻， 那么一个点合法当且仅当有至少一个大小至少为3的奇环经过了它。

　　观察到只会出现一棵类似树的结构 + t个相对独立的环， 因为环肯定都是独立出来的，所以可以不用管它。

　　因此我们先找出所有点双，然后判断这个点双内是否有奇环，用二分图染色来判断。如果有奇环，则说明这个点双内的所有点都可以出现在一个奇环上，反之则都不会出现。

　　所以我们只需要寻找一下点双，然后判断是否合法并加上相应贡献即可。

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define R register int
 #define AC 1100
 #define ac 11000000

 int n, m, cnt, timer, ans;
 int q[AC], top;
 int q1[AC], head, tail;
 int belong[AC], low[AC], color[AC], dfn[AC];
 bool z[AC][AC], vis[AC];

 inline int read()
 {
     int x = ;char c = getchar();
     while(c > '' || c < '') c = getchar();
     while(c >= '' && c <= '') x = x *  + c - '', c = getchar();
     return x;
 }

 void pre()
 {
     n = read(), m = read();
     if(!n && !m) exit();
     memset(belong, , sizeof(belong));
     memset(vis, , sizeof(vis));
     memset(dfn, , sizeof(dfn));
     timer = cnt = ans = top = ;
     memset(z, , sizeof(z));
     int a, b;
     for(R i = ; i <= m; i ++)
     {
         a = read(), b = read();
         z[a][b] = z[b][a] = true;
     }
     for(R i = ; i <= n; i ++) z[i][i] = true;//不能走自环
 }

 inline void upmin(int &a, int b){
     if(b < a) a = b;
 }

 bool check(int x)//检查x所在点双是否是一个二分图
 {
     memset(color, , sizeof(color));
     head = tail = ;
     q1[++tail] = x, color[x] = ;
     while(head < tail)
     {
         x = q1[++head];
         for(R i = ; i <= n; i ++)
         {
             if(!z[x][i] && belong[i] == cnt)//如果有边并且在同一个点双中
             {
                 if(color[x] == color[i]) return false;
                 else if(!color[i]) q1[++tail] = i, color[i] = color[x] ^ ;
             }
         }
     }
     return true;
 }

 void tarjan(int x, int fa)//求点双联通分量
 {
     low[x] = dfn[x] = ++ timer;
     for(R i = ; i <= n; i ++)//枚举边
     {
         if(!z[x][i])
         {
             if(!dfn[i])
             {
                 q[++top] = i;//将这个点加入栈
                 tarjan(i, x);
                 upmin(low[x], low[i]);
                 if(low[i] >= dfn[x])//这个点是割点
                 {
                     int tot = ;//先加上割点和当前now的tot
                     belong[x] = ++ cnt;//先给这个割点临时打上标记
                     while(q[top] != i) ++tot, belong[q[top --]] = cnt;//记录下这个点所属的点双联通分量
                     belong[q[top --]] = cnt;
                     if(!check(x))//不是二分图，那么这个bcc当中的点都是合法的
                     {
                         int b = top + tot - ;//直接把刚取出来的点打上标记
                         vis[x] = true;//q[top] 不一定是割点
                         for(R i = top + ; i <= b; i ++) vis[q[i]] = true;
                     }
                 }
             }
             else if(i != fa) upmin(low[x], dfn[i]);
         }
     }
 }

 void work()
 {
     while()
     {
         pre();
         for(R i = ; i <= n; i ++)
             if(!dfn[i]) q[++top] = i, tarjan(i, i);//将当前点加入栈
         for(R i = ; i <= n; i ++) if(!vis[i]) ++ans;
         printf("%d\n", ans);
     }
 }

 int main()
 {
 //    freopen("in.in", "r", stdin);
     work();
 //    fclose(stdin);
     return ;
 }