[学习笔记]四边形不等式优化DP

形如$f[i][j]=min{f[i][k]+f[k+1][j]}+w[i][j]$的方程中，

$w[\;][\;]$如果同时满足：

①四边形不等式：$w[a][c]+w[b][d]\;\leq\;w[a][d]+w[b][c](a\;\leq\;b<c\;\leq\;d)$

②区间包含关系单调：$w[i+1][j]\;\leq\;w[i][j]\;\leq\;w[i][j+1]$

则$f[\;][\;]$也满足四边形不等式。

记使$f[i][j]$最小的$k$为$g[i][j]$，则$g[i][j-1]\;\leq\;g[i][j]\;\leq\;g[i+1][j]$

每次枚举$k$只需枚举$[g[i][j-1],g[i+1][j]]$。

$DP$的时间复杂度就从$O(n^3)$压到了$O(n^2)$。