BZOJ2301 [HAOI2011]Problem b

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Description

对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。

Input

第一行一个整数n，接下来n行每行五个整数，分别表示a、b、c、d、k

Output

共n行，每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数

Sample Input

2
2 5 1 5 1
1 5 1 5 2

Sample Output

14
3

HINT

100%的数据满足：1≤n≤50000，1≤a≤b≤50000，1≤c≤d≤50000，1≤k≤50000

正解：线性筛+莫比乌斯函数+分块

解题报告：

　　 这道题是一道莫比乌斯函数的入门题，我从昨晚一直看题解和分析，直到今天才完全弄懂。系统性地写一份解题报告吧。

　　 ps：我在学习的时候参考了这些论文与博客，贴出来以供参考吧：

　　 http://wenku.baidu.com/view/fbe263d384254b35eefd34eb.html

　　 http://wenku.baidu.com/view/fbec9c63ba1aa8114431d9ac.html

　　 http://www.cnblogs.com/zhsl/p/3269288.html

　　 可以发现题目要求的是∑ ∑ [gcd(i,j)==k] (1<=i<=n && 1<=j<=m)，这样一个东西。（至于区间的话我们很快可以发现根据容斥原理[a,b]和[c,d]组合起来的答案就等于[1,b]组合[1,d] - [1,a-1]组合[1][d] - [1][b]组合[1][c-1] + [1][a-1] 组合 [1][c-1]，问题从而转化。）但是直接求的复杂度很高，还是多组询问，肯定会TLE。

　　题目所求的可以变成

　　∑ ∑ [gcd(i,j)==1] (1<=i<=n/k && 1<=j<=m/k) ，相当于是同时除以k；

　　考虑再把式子变形：

　　∑ ∑ ∑ μ(d) (1<=i<=n && 1<=j<=m && d|gcd(i,j))；

　　

根据莫比乌斯函数的性质，当n=1时，∑μ(i)=1(1<=i<=n)；否则∑μ(i)=0(1<=i<=n)，所以实际上只有在gcd(i,j)==1时上式才有贡献。可是复杂度还是没有改变啊。我看了一篇解题报告，里面对于这个问题讲的很详细，大概是说根据容斥原理，可以把1<=i<=n && 1<=j<=m且满足gcd(i,j)==k的方案数转化成1<=i<=n && 1<=j<=m且满足gcd(i,j)>=k的方案数。二者的联系就在于莫比乌斯函数。论文里面画了一个图，一目了然地展示了二者的联系。

　　可以根据莫比乌斯函数的性质很快反应过来二者的联系。

　  所以得到新式：

　　 ans=∑μ(i)*[n/i]*[m/i] (1<=i<=min(n,m),[n/i]表示n/i下取整)

　　容易发现这个式子可以使我的复杂度降低到O(n)，但是询问次数也是5w级别，还是会TLE。考虑继续优化上式，考虑到[n/i]、[m/i]都会有大量的完全相等的部分，我们可以把[n/i]、[m/i]都相等的部分放在一起算，也就是一个分块的思想。容易发值为[n/i]的起点是i，终点是n/([n/i])，而取值不会超过根号n种，也就是说我只要算根号次。但是因为是两个都要相等，在数轴上画线段可以发现，这样的话总取值不会超过2×根号n种（论文里面也有图说明）。所以复杂度降低到可以接受的范围内。

　　值得一提的是，由于我们是分块计算的，所以我们必须要预处理出莫比乌斯函数和他的前缀和。预处理的方式是根据莫比乌斯函数的性质，进行一次线性筛。在筛出质数的同时随便求一下莫比乌斯函数，比较巧妙，然后直接构前缀和就可以了。

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 #include <iostream>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <cstdio>
 #include <cmath>
 #include <algorithm>
 #include <ctime>
 #include <vector>
 #include <queue>
 #include <map>
 #include <set>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const int inf = (<<);
 const int MAXN = ;
 const int MAXL = ;
 LL a,b,c,d,k,ans;
 int prime[MAXN],cnt;
 bool ok[MAXN];
 int mobius[MAXN],sum[MAXN];//莫比乌斯函数及其前缀和

 inline int getint()
 {
     int w=,q=; char c=getchar();
     while((c<'' || c>'') && c!='-') c=getchar(); if(c=='-') q=,c=getchar();
     while (c>='' && c<='') w=w*+c-'', c=getchar(); return q ? -w : w;
 }

 inline void init(){//递推得到莫比乌斯函数
     //1的莫比乌斯函数是1；质数的莫比乌斯函数为1；含有相同质因子的数莫比乌斯函数为0；
     //不含有相同质因子的数的莫比乌斯函数函数为（-1）^k，k为质因子个数
     mobius[]=;
     for(int i=;i<=MAXL;i++) {
     if(!ok[i]) {
         mobius[i]=-;
         prime[++cnt]=i;
     }
     for(int j=;j<=cnt && i*prime[j]<=MAXL;j++) {
         ok[i*prime[j]]=;//标记合数
         if(i%prime[j]) mobius[i*prime[j]]=-mobius[i];//互质的两个数乘起来得到一个不含有相同质因子的数，质因子个数奇偶性改变，莫比乌斯函数变号
         else { mobius[i*prime[j]]=; break; }//留到后面再筛，此处已经可以break
     }
     }
     for(int i=;i<=MAXL;i++) sum[i]=sum[i-]+mobius[i];//求莫比乌斯函数的前缀和
 }

 inline LL solve(LL n,LL m){//计算a在[1,n]且b在[1,m]中的gcd(a,b)==1的数目
     n/=k; m/=k;
     if(n>m) swap(n,m); if(n==) return ;
     LL i,next1,next2,next;//把相等的部分直接分块一起计算
     LL tot=;
     for(i=;i<=n;i=next) {
     next1=n/(n/i); next2=m/(m/i);
     next=min(next1,next2);
     tot+=(n/i)*(m/i)*(sum[next]-sum[i-]);
     next++;
     }
     return tot;
 }

 inline void work(){
     int T=getint(); init();
     while(T--) {
     a=getint(); b=getint(); c=getint(); d=getint(); k=getint();
     ans=solve(b,d)-solve(a-,d)-solve(b,c-)+solve(a-,c-);//容斥原理
     printf("%lld\n",ans);
     }
 }

 int main()
 {
     work();
     return ;
 }