COGS 2416.[HZOI 2016]公路修建 & COGS 2419.[HZOI 2016]公路修建2 题解

大意：

[HZOI 2016]公路修建

给定一个有n个点和m-1组边的无向连通图，其中每组边都包含一条一级边和一条二级边(连接的顶点相同)，同一组边中的一级边权值一定大于等于二级边，另外给出一个数k(k<=n-1)，求原图的一个生成树，使得其中至少包含k条一级边且最大的边权值尽量小。

[HZOI 2016]公路修建2

和上一题基本一样，但是求出的不一定是生成树(也就是说可以有多于n-1条边，只要让图连通即可)，在此前提下仍然使得其中至少包含k条一级边且最大的边权值尽量小。

解法：

两题均可以使用贪心算法解决，但是由于两题对最终总边数的要求不同，使用的贪心算法也就差别甚远。

对于第一题，可以先对一级边跑一遍Kruskal建出k条边，然后再对二级边跑一遍Kruskal建出剩下的边。

这个算法比较直观，但正确性需要我们进行证明。不过dbw神犇确实给出了一个证明，在此致以崇高的敬意。

这里给出我自己的证明，首先分两种情况：

1.最大边是一级边

这样用Kruskal求出的不完整生成树中包含的一定是尽量小的k条一级边，因此这种情况下这个算法得到的解不会比最优解更差。

2.最大边是二级边

如果第二遍的Kruskal求出的最大边可以用一条比它更小的边替代，那么显然这条边不是二级边(因为第二遍Kruskal已经保证了这一点)，但如果它是一级边的话，用它对应的二级边替换最大边显然不会比用一级边替代更差，但这种情况已经被推翻，因此这种情况下这个算法的解也不会比最优解更差。

综上所述，此贪心算法成立。

对于第二题，可以先对二级边直接跑一遍Kruskal求出最小生成树，再把权值前k小的一级边加入方案中即可。

这个的正确性更加显然，不过还是给出证明。

仍然分两种情况：

1.最大边是一级边

第二步已经保证了所选的一级边的方案不会存在更优解，这种情况下此算法正确。

2.最大边是二级边

第一步已经保证了所选的二级边方案不会存在更优解，故这种情况下此算法也正确。

综上所述，此贪心算法成立。

两题的解法叙述到此结束。

后记：

这两题题面极其雷同，解法也有共通之处(都是贪心+最小生成树)，但造成两题最终算法产生如此巨大的差别的原因，就在于两题的一个小差距：

第一题要求所求方案必须是生成树，第二题则只要求连通，边可以多选(这也是为什么不考虑一级边和二级边重了等情况的原因)。

如果质疑为什么第一题的算法不可以解第二题，请参见第二题的样例。

这两个题告诉我们，一定要好好读题，要不然看见第二题之后没好好读题直接按生成树写的就WA大吉了。

顺便一提，这两个题都可以用二分答案，复杂度和贪心不相上下。

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