2014百度之星资格赛 1004:Labyrinth（DP）

Labyrinth

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 1507    Accepted Submission(s): 520

Problem Description

度度熊是一只喜欢探险的熊，一次偶然落进了一个m*n矩阵的迷宫，该迷宫只能从矩阵左上角第一个方格开始走，只有走到右上角的第一个格子才算走出迷宫，每一次只能走一格，且只能向上向下向右走以前没有走过的格子，每一个格子中都有一些金币（或正或负，有可能遇到强盗拦路抢劫，度度熊身上金币可以为负，需要给强盗写欠条），度度熊刚开始时身上金币数为0，问度度熊走出迷宫时候身上最多有多少金币？

 

Input

输入的第一行是一个整数T（T < 200），表示共有T组数据。
每组数据的第一行输入两个正整数m，n（m<=100，n<=100）。接下来的m行，每行n个整数，分别代表相应格子中能得到金币的数量，每个整数都大于等于-100且小于等于100。

 

Output

对于每组数据，首先需要输出单独一行”Case #?:”，其中问号处应填入当前的数据组数，组数从1开始计算。
每组测试数据输出一行，输出一个整数，代表根据最优的打法，你走到右上角时可以获得的最大金币数目。

 

Sample Input

2

3 4

1 -1 1 0

2 -2 4 2

3 5 1 -90

2 2

1 1

1 1

 

Sample Output

Case #1:

18

Case #2:

4

---

 

　　DP题。

　　一开始用DFS做的，果断超时。看讨论版才发现需要用DP，当时就蔫了，后来还是查了网上的题解，才明白怎么用DP解这道题，对DP的理解更深了。下面是思路：

　　思路：这道题的思路是一列列的确定每一个格子的最大金币数。先确定第一列的最大金币数，因为只能向下走，所以很好求。之后每一列每格的最大金币数可以由前一列求得。

　　例如要求dp[i][j]（dp[][]的含义是走到这个位置的最大金币数），则从前一列有3种走法到这个格子：

　　1、它的左边一个格子，即a[i][j-1]，直接向右走一个格子；

　　、a[i][j-1]上面的所有格子，可以先向右走一个格，然后向下一直走到a[i][j]的位置；

　　、a[i][j-1]下面的所有格子，可以先向右走一个格，然后向上一直走到a[i][j]的位置。

　　遍历上述所有路径的过程中需要记录一个最大值，最后这个值就是dp[i][j]的值。

　　由此可知，确定该位置的每一种路径，需要遍历m次。而你需要确定每一列的每一个格子的dp[][]值，所以这个算法的时间复杂度为O(n*m*m)。

　　代码：

 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 using namespace std;
 #define inf 0x7fffffff
 int a[][];
 int dp[][];    //记录走到某一位置的金币最大值
 int m,n;
 void DP()
 {
     int i,j,k;
     dp[][] = a[][];
     for(i=;i<=m;i++)    //初始化第一列
         dp[i][] = dp[i-][] + a[i][];
     for(i=;i<=n;i++){    //每一列 a[][i]
         for(j=;j<=m;j++){    //每一列的每一个位置 a[j][i]
             //有三种路径到达这个位置。
             //1.它左边的位置直接向右走过来。
             //2.它左边的位置的上面所有位置向右再一直向下走到这个位置。
             //3.它左边的位置的下面所有位置向右再一直向上走到这个位置。
             //不断比较，在这个位置处 dp[j][i] 记录以上3条路径的最大值。即为走到这个位置的能拥有的最大金币数。
             //这是以 a[j][i] 为重心考虑，遍历到达 a[j][i]的三种路径，求出最大值
             int t = dp[j][i-] + a[j][i];
             if(t>dp[j][i])
                 dp[j][i] = t;
             for(k=j-;k>=;k--){
                 //a[k][i-1] --> a[j][i]这个位置所拥有的金币数
                 t = t-dp[k+][i-]+dp[k][i-]+a[k][i];
                 if(t>dp[j][i])
                     dp[j][i] = t;
             }
             t = dp[j][i-] + a[j][i];
             for(k=j+;k<=m;k++){
                 //a[k][i-1] --> a[j][i]这个位置所拥有的金币数
                 t = t-dp[k-][i-]+dp[k][i-]+a[k][i];
                 if(t>dp[j][i])
                     dp[j][i] = t;
             }
         }
     }
 }
 int main()
 {
     int i,j,Case,T;
     scanf("%d",&T);
     for(Case=;Case<=T;Case++){
         scanf("%d%d",&m,&n);
         for(i=;i<=m;i++)    //输入迷宫，初始化dp[][]
             for(j=;j<=n;j++){
                 scanf("%d",&a[i][j]);
                 dp[i][j] = -inf;
             }
         printf("Case #%d:\n",Case);
         DP();
         printf("%d\n",dp[][n]);
     }
     return ;
 }

　　贴上超时的DFS代码：

 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 using namespace std;
 int Max;
 int a[][];
 bool isv[][];
 int dx[] = {,-,};
 int dy[] = {,,};
 int m,n;
 bool judge(int x,int y)
 {
     if(x< || x>m || y< || y>n)
         return true;
     if(isv[x][y])
         return true;
     return false;
 }
 void dfs(int x,int y,int money)
 {
     if(x== && y==n){
         if(money>Max)
             Max=money;
     }
     int i;
     for(i=;i<;i++){
         int nx = x+dx[i];
         int ny = y+dy[i];
         if(judge(nx,ny))
             continue;
         //可以走
         isv[nx][ny] = true;
         dfs(nx,ny,money+a[nx][ny]);
         isv[nx][ny] = false;
     }
 }
 int main()
 {
     int i,j,Case,T;
     scanf("%d",&T);
     for(Case=;Case<=T;Case++){
         scanf("%d%d",&m,&n);
         for(i=;i<=m;i++)
             for(j=;j<=n;j++)
                 scanf("%d",&a[i][j]);
         printf("Case #%d:\n",Case);
         Max=;
         memset(isv,,sizeof(isv));
         isv[][] = true;
         dfs(,,a[][]);
         printf("%d\n",Max);
     }
     return ;
 }

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