2.2 节的练习--Compiler principles, technologys, &tools

2.2 节的练习

2.2.1

考虑下面的上下文无关文法：

S -> S S + | S S * | a

1. 试说明如何使用该文法生成串 aa+a*
2. 试为这个串构造一颗语法分析树
3. ⧗ 该文法生成的语言是什么？试证明

解答

1. S -> S S * -> S S + S * -> a S + S * -> a a + S * -> a a + a *
2. 
3. 把 a 看成是运算数，L = {支持加法和乘法的表达式的后缀表示形式}

2.2.2

下面各个文法生成什么语言？证明你的每一个答案

1. S -> 0 S 1 | 0 1
2. S -> + S S | - S S | a
3. S -> S ( S ) S | ε
4. S -> a S b S | b S a S | ε
5. ⧗ S -> a | S + S | S S | S * | ( S )

解答

1. L = {0ⁿ1ⁿ | n>=1}
2. L = {支持加法和减法的表达式的前缀表达形式}
3. L = {匹配括号的任意排列和嵌套的括号串，包括 ε}
4. L = {数量相同的a和b组成的符号串，包括 ε}
5. ？

2.2.3

上一题中哪些文法具有二义性

解答

1. 没有
2. 没有

3. 有

   

4. 有

   

5. 有

   

   2.2.4

为下面的各个语言构建无二义性的上下文无关文法。证明你的文法都是正确的。

1. 用后缀方法表示的算数表达式
2. 由逗号分隔开的左结合的标识符列表(标识符以 id 表示，以下同)
3. 由逗号分隔开的右结合的标识符列表
4. 有整数、标识符、4个二目运算符 +, -, *, / 构成的算数表达式
5. ! 在上一题的运算符中增加单目+ 和单目-构成的算数表达式

解答

1. E -> E E op | num
2. list -> list , id | id
3. list -> id , list | id

4. expr -> expr + term | expr - term | term

   term -> term * factor | term / factor | factor

   factor -> id | num | (expr)

5. 注：单目加减运算的优先级最高

   expr -> expr + term | expr - term | term

   term -> term * unary | term / unary | unary

   unary -> + factor | - factor

   factor - > id | num | (expr)

2.2.5

1. 证明：用下面文法生成的所有二进制串的值都能被3整除。（提示：对语法分析树的节点树木使用数学归纳法）

   num -> 11 | 1001 | num 0 | num num

2. 上面的文法是否能生成所有能被3整除的二进制串？

解答

1. 证明

   符合该文法的二进制串一定是由任意数量的 11，1001 和 0 组成的最左位不为0的序列

   该序列的十进制和为：

   sum

   = Σ_n (2¹ + 2⁰) * 2 ⁿ + Σ_m (2³ + 2⁰) * 2^m

   = Σ_n 3 * 2 ⁿ + Σ_m 9 * 2^m

   显然是能被3整除的

2. 不是。二进制串10101，数值为21，可被3整除，但无法由文法推导出。

   注： 还有更一般性的证法么？

2.2.6

为罗马数字构建一个上下文无关文法

注：该文法不考虑罗马数字的上下划线表示，故只能产生小于4k的数字

解答

规则参考 维基百科：罗马数字

• 根据wiki中讲述的规则，可以发现个位数的表示可以分为4类：

  I, II, III | I V | V, V I, V II, V III | I X

  即有产生式：

  digit -> smallDigit | I V | V smallDigit | I X

  smallDigit -> I | II | III | ε

  其他数位的表示类似。

• 还可以发现：罗马数字和阿拉伯数字有比较简单的数位对应关系。

  例如：

  • XII - X, II - 10 + 2 - 12
  • CXCIX - C, XC, IX - 100 + 90 + 9 - 199
  • MDCCCLXXX - M, DCCC, LXXX - 1000 + 800 + 80 - 1880

• 根据这两个规律推导出产生式：

  romanNum -> thousand hundred ten digit

  thousand -> M | MM | MMM | ε

  hundred -> smallHundred | C D | D smallHundred | C M

  smallHundred -> C | CC | CCC | ε

  ten -> smallTen | X L | L smallTen | X C

  smallTen -> X | XX | XXX | ε

  digit -> smallDigit | I V | V smallDigit | I X

  smallDigit -> I | II | III | ε