SOJ1728 题解

题意

有一个长度为 \(n\) 的数列 \(a_0,a_1,\dots,a_{n-1}\) 以及一个长度为 \(m\) 的操作序列 \((b_0,c_0),(b_1,c_1)\dots(b_{m-1},c_{m-1})\)。

执行 \(t\) 次操作，第 \(i\) 次操作（从 \(1\) 开始编号）执行

\[\text{swap}(a_{(b_{i\bmod m}+i)\bmod n},a_{(b_{i\bmod m}+i)\bmod n})
\]

求最终数列。

\(1\le n,m\le 10^5,t\le 10^{10}\)。

题解

考试题，赛时想了一个巨毒瘤的奇环树+倍增解法，结果 \(200+\) 行代码怒调 \(4\texttt{h}\)，还 R 了一个点。只能 \(90\texttt{pts}\) 遗憾离场……正解用到了一个挺妙的 trick，但出题人认为很典（www被嘲讽了

先考虑 \(n\mid m\) 的情形。若我们将操作每 \(m\) 个分为一组，除最后一组外的所有组都是相同的。暴力一遍，可以得到一个置换，因为置换有结合律，用快速幂可以 \(O(n\log t)\) 解决。其实也可以优化到 \(O(n\log n)\)，但没必要。

\(n\nmid m\) 时，第 \(i\) 组的每个数在 \(\bmod n\) 意义下比第 \(i-1\) 组大 \(m\)。我们这样考虑：做完第 \(1\) 组后，将数列向左循环移 \(m\) 位，做完剩下的所有组后再移回来。由于操作是 \(\texttt{swap}\)，结果不变。那么除最后一组外的所有组又相同了。如上操作，最后循环右移 \(\lfloor\frac{t}{m}\rfloor\times m\) 即可。