MATLAB求解常微分方程:ode45函数与dsolve函数

ode45函数无法求出解析解，dsolve可以求出解析解(若有)，但是速度较慢.

1.      ode45函数

①求一阶常微分方程的初值问题

[t,y] = ode45(@(t,y)y-2*t/y,[0,4],1);

plot(t,y);

求解 y’ – y + 2*t / y且初值y(0) = 1的常微分方程初值问题，返回自变量和函数的若干个值.

若不写返回值，则会自动作出函数随自变量的变化图像.

ode45(@(t,y)y-2*t/y,[0,4],1);

②求解一阶微分方程组

x’ = -x^3-y,x(0)=1

y’ = x-y^3,y(0)=0.5.

自变量为t,且0<t<30.

求解过程如下.

第一步，在M函数文件中将函数x和函数y写成向量形式.

function f = fun(t,x);

f(1) = -x(1)^3 – x(2);

f(2) = x(1) – x(2)^3;

f = f(:);%确保f为列向量.

第二步，在M脚本文件中求解.

[t,x] = ode45(@fun,[0,30],[1;0.5]);

subplot(1,2,1);plot(t,x(:,1),t,x(:,2),':');xlabel('t');ylabel('x/y');%作x和y随t变化图

subplot(1,2,2);plot(x(:,1),x(:,2));xlabel('x');ylabel('y');%作x和y的相位图

第三步，在命令窗口运行M脚本文件中的代码.

③求解高阶常微分方程组

将高阶常微分方程组通过变量替换转化为一阶的常微分方程组，然后用ode45求解.

2.      dsolve函数

①求解析解

y’ = a*x + b;

s = dsolve('D2y=a*y+b*x','x');

D2y用以表示y的二阶导数，默认是以t为自变量的，所以最好指明自变量为x.

②初值问题

y’ = y – 2*t / y , y(0) = 1;

s = dsolve('Dy == y - 2*t / y','y(0) ==1');

③边值问题

x*y’’ – 3*y’ = x^2 , y(1) = 0 , y(5) = 0;

s = dsolve('x*D2y - 3*Dy ==x^2','y(1)=0','y(5) == 0','x');

函数最后一个参数指明自变量为x.

④高阶方程

求解y’’ = cos(2x) – y , y(0) = 1 , y’(0) = 0;

s=dsolve('D2y == cos(2*x) - y','y(0) =1','Dy(0) = 0','x');

simplify(s);

⑤方程组问题

f’ = f + g , g’ = -f + g,f(0) = 1, g(0) =2;

[f,g]= dsolve('Df == f + g','Dg = -f + g','f(0)==1','g(0) == 2','x');