剑指 Offer 57 - II. 和为s的连续正数序列

本题 题目链接

题目描述

我的题解

方法三双100%， 方法一 适合范围广

方法一：双指针（也叫 滑动窗口）

思路分析

• 用两个指针i和表示当前枚举到的以i为起点，j为终点的区间，sum表示[i,j]的区间和:
  • 当sum < tiarget，j指针向前移动，扩大区间，增大区间和。即：j++，sum+=j ；
  • 当sum > target，i指针向前移动，收缩区间，减小区间和。即：sum-=i，i++；
  • 当sum == target，i指针向前移动2个单位，j向前移动一个单位。即sum = sum-i-(i+1)，i-=2，j++，sum+=j；
    
    （当sum=target时，无论是 i 先向前移动，还是 j 先向前移动，另一个指针下一步都会向前一步，此时，一定有sum>target(剔除一个小的加进来一个大的数)。
    
    故而可以直接把 i++和 j++合成一步。又因sum>target，i 又会向前一步。故最终可以再把这两步合成一步，直接令sum=target时，i 向前移动两个单位而j向前移动1个单位）
• (对于求区间和sum也可以用数学公式求啦：（连续序列和=(首项+末项)*项数/2）)

代码如下

    public int[][] findContinuousSequence(int target) {
        ArrayList<int[]> resLists = new ArrayList<>();
        int sum = 1;
        for (int i = 1,j = 1; j <= (target >>1) + 1; ) {
            if (sum < target) {
                j++;
                sum += j;
            } else if (sum > target) {
                sum -= i;
                i++;
            } else {
                resLists.add(getArray(i,j));
                j++;
                sum = sum + j - i - (i + 1);
                i = i+2;
            }
        }
        return resLists.toArray(new int[0][]);
    }

    private int[] getArray(int i, int j) {
        if (i == j) return new int[0]; // 题目要求至少含2个数
        int[] arr = new int[(j - i + 1)];
        for (int k = 0; k <= j - i; k++) arr[k] = k + i;

        return arr;
    }

方法二：求根公式

（官方的题解，我就不写了，直接截图附上C++代码）

代码如下（C++）

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> findContinuousSequence(int target) {
        vector<vector<int>> vec;
        vector<int> res;
        int sum = 0, limit = (target - 1) / 2; // (target - 1) / 2 等效于 target / 2 下取整
        for (int x = 1; x <= limit; ++x) {
            long long delta = 1 - 4 * (x - 1ll * x * x - 2 * target);
            if (delta < 0) continue;
            int delta_sqrt = (int)sqrt(delta + 0.5);
            if (1ll * delta_sqrt * delta_sqrt == delta && (delta_sqrt - 1) % 2 == 0){
                int y = (-1 + delta_sqrt) / 2; // 另一个解(-1-delta_sqrt)/2必然小于0，不用考虑
                if (x < y) {
                    res.clear();
                    for (int i = x; i <= y; ++i) res.emplace_back(i);
                    vec.emplace_back(res);
                }
            }
        }
        return vec;
    }
};

方法三：等差数列特殊性质，奇偶讨论，双100

(参考了一位大佬的)

思路分析

• 实际上某个序列可以按其包含奇数/偶数个元素来讨论

  • 当某序列含有奇数个(2k+1)元素时，Sequence : i, i+1, i+2 ... i+2k
    
    其序列和为中间元素的2k+1倍，即：Sum(Sequence) = (2k+1) * (i+k)
  • 当某序列含有偶数个(2k)元素时， Sequence : i, i+1, i+2 ... i+2k-1
    
    其序列和为中间两个元素的k倍，即：Sum(Sequence) = k * [(i+k-1) + (i+k)]

• 因此枚举所有可能的序列长度len(从2开始，题目要求至少2个连续的数)：

  • 奇数时直接判断长度len是否整除target，整除则符合题意，找到序列
  • 偶数时判断 2k*(mid1+mid2) = target，k为正整数，mid1和mid2为序列中间的两个数，因连续，故和为大于1的奇数。
    
    成立，则找到序列

• 由于枚举按照序列长度递增顺序，因此输出时将结果逆序输出

• 对于枚举长度，len上界：
  
  

代码如下

    public int[][] findContinuousSequence(int target) {
        ArrayList<int[]> resLists = new ArrayList<>();

        int len = 2;
        while (len * (1 + len) < (target << 1)) {
            if (len % 2 == 1) { // 长度为奇数
                if (target % len == 0) { // 找到序列（中间数为 target/len）
                    int[] arr = new int[len];
                    for (int i = 0, val = target / len - len / 2; i < len; i++) // 存数组
                        arr[i] = val++;
                    resLists.add(arr);
                }
            } else { // 长度为偶数
                int k = len / 2;
                // 符合式子： 2k*(mid1+mid2) = target,k为正整数，mid1和mid2为连续的两个数，故和为大于1的奇数
                if (target % k == 0 && target / k % 2 == 1) { // 找到序列（中间两个数的和为 target/k）
                    int[] arr = new int[len];
                    for (int i = 0, val = target / k / 2 - len / 2 + 1; i < len; i++)
                        arr[i] = val++;
                    resLists.add(arr);
                }
            }

            len++;
        }
        Collections.reverse(resLists);
        return resLists.toArray(new int[0][]);
    }