洛谷P6218

感觉此题是P4317 花神的数论题的变形版

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Description

求一段区间内二进制中 \(0\) 的个数不小于 \(1\) 的个数的数的个数

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Solution

数位 DP

先考虑状态转移方程式，如何处理处所有数

设 \(f[i][j][k]\) 表示枚举到第 \(i\) 位，数字为 \(j\)，此时二进制中 \(1\) 的个数为 \(k\)

显然有

\[f[i][0][j]=\sum_{k=0}^if[i-1][1][k]+f[i-1][0][k]
\]

\[f[i][1][j]=\sum_{k=1}^if[i-1][0][k-1]+f[i-1][1][k-1]
\]

与花神的数论题是一样的

另一部分，考虑答案的统计

显然，对于 \(ans_{l,r}\)，可以转化为 \(ans_{1,r}-ans_{1,l-1}\)

把最高位上的数与最高位以下的分开统计

由于存在原数定义的限制，我们对于 \(ans_{1,V}\) 可用如下方法处理

设 \(len\) 为 \(V\) 的位数, \(a_i\) 为 \(V\) 的第 \(i\) 位

对于首位为 \(1\) 且前面有 \(cnt1\) 个 \(1\) 的 \(f\)，

\(res+=f[i][0][j],i\in[1,len),j\in[0,len/2-cnt1]\)

对于首位为 0 的 f，

\(res+=f[i][1][j],i\in[1,len),j\in[0,i/2]\)

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Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define maxn 10000100
//#define int long long

using namespace std;

int f[50][2][50],a[50];
int l,r;

int read(){
	int s=0,w=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9') s=(s<<1)+(s<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	return s*w;
}

void init(){
	f[1][1][1]=1;f[1][0][0]=1;
	for(int i=2;i<35;i++)
		for(int j=0;j<=1;j++)
			for(int k=0;k<=i;k++)
				for(int s=0;s<=1;s++){
					if(!j)f[i][j][k]+=f[i-1][s][k];
					if(j&&k) f[i][j][k]+=f[i-1][s][k-1];
				}
}

int solve(int x){
	memset(a,0,sizeof a);
	int len=0,ans=0,cnt1=1,cnt0=0;
	while(x){a[++len]=x%2;x/=2;}
	for(int i=len-1;i>=1;i--){
		if(a[i]) for(int j=0;j<=len/2-cnt1;j++) ans+=f[i][0][j];
		cnt1+=a[i];cnt0+=(a[i]==0);
		if(cnt0>=cnt1&&i==1) ans++;
	}
	for(int i=1;i<len;i++)
		for(int j=0;j<=i/2;j++)
		    ans+=f[i][1][j];
	return ans;
}

int main(){
	init();
	l=read();r=read();
	printf("%d",solve(r)-solve(l-1));
	return 0;
}

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