二叉排序树(BST)

二叉排序树,又称二叉查找树(BST)

左子树结点值<根节点值<右子树结点值

如果用中序遍历来遍历一棵二叉排序树的话,可以得到一个递增的有序数列

左根右

二叉排序树的查找

//二叉排序树结点
typedef struct BSTNode{
int key;
struct BSTNode *lchild,*rchild;
}BSTNode,*BSTree;

查找是非常方便的,目标值和根节点比较,如果相等则成功,比根节点大往右去,比根节点小往左去。

查找失败就返回null

非递归方式:

//在二叉排序树中查找值为key的结点
BSTNode *BST_search(BSTree T, int key){
while(T!=NULL&&key!=T->key){ //若树为空或等于根节点值,则结束循环
if(key<T->key){ //小于,则在左子树
T=T->lchild;
}else{ //大于,则在右子树
T=T->rchild;
}
}
return T;
}

最坏空间复杂度=O(1)

递归方式:

//在二叉排序树中查找值为key的结点(递归实现)
BSTNode *BSTSearch(BSTree T,int key){
if(T==NULL){
return NULL; //查找失败
}
if(key==T->key){
return T; //查找成功
}else if(key <T->key){
return BSTSearch(T->lchild,key); //在左子树找
}else{
return BSTSearch(T->rchild,key); //在右子树找
}
}

最坏空间复杂度=O(h) 和树的高度相同

二叉排序树的插入

若原二叉排序树为空,则直接插入结点;

否则,若关键字k小于根节点值,则插入到左子树,若关键字k大于根节点值,则插入到右子树。

//在二叉排序树插入关键字为k的新节点(递归实现)
int BST_Insert(BSTree &T,int k){
if(T == NULL){ //原树为空,新插入的结点为根节点
T=(BSTree)malloc(sizeof(BSTNode));
T->key = k;
T->lchild = T->rchild = NULL;
return 1; //返回1,插入成功
}else if(k == T->key){ //树中不能存在相同关键字的结点,插入失败
return 0;
}else if(k<T->key){ //插入到T的左子树
return BST_Insert(T->lchild,k);
}else{ //插入到T的右子树
return BST_Insert(T->rchild,k);
}
}

最坏空间复杂度=O(h)

二叉排序树的构造

其实就是不断插入新节点的过程

//按照str[]中的关键字序列建立二叉排序树
void Creat_BST(BSTree &T,int str[],int n){
T = NULL; //初始化时T为空树
int i = 0;
while(i<n){ //依次将每个关键字插入到二叉排序树
BST_Insert(T,str[i]);
i++;
}
}

不同的关键字序列可能得到同款二叉排序树,也可能得到不同款二叉排序树

二叉排序树的删除

先搜索找到目标结点:

(需要保证二叉排序书的特性——左子树结点值<根节点值<右子树结点值)

  • 若是被删除的结点z是叶节点,则直接删除,不会破坏二叉排序树的性质。

  • 若结点z只有一棵左子树或右子树,则让z的子树称为z父节点的子树,替代z的位置

  • 若结点z有左、右两棵子树,则令z的直接后继(或直接前驱)替代z,然后从二叉排序树中删去这个直接后继(或直接前驱),这样就转换成了第一或第二种情况。

进行中序遍历,可以得到一个递增的有序序列。

用右子树最小的值来替代被删除的值(最左下)

用左子树最大的值来替代被删除元素(最右下角)

查找效率分析

查找长度——在查找运算中,需要对比关键字的次数称为查找长度,反应了查找操作时间复杂度

查找成功的平均查找长度ASL(Average Search Length)

树高h,找到最下层的一个结点需要对比h次

最坏情况:每个节点只有一个分支,树高h=结点数n。平均查找长度=O(n)

最好情况:

n个结点的二叉树最小高度为

\[\lfloor log_2n \rfloor+1
\]

平均查找长度=

\[O(log_2n)
\]

查找失败

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