关于zero pivot

下面是运行一个adams/car模型出现的错误。

---- ERROR ----
   The system matrix has a zero pivot for column 2142, which is associated
   with VARIABLE/64 Algb Var.  Consequently, the matrix is numerically singular.

错误分析

大家可能都清楚当出现zero pivot错误的时候，一般是model中出现了过约束（over constraint）或者是约束不够而导致rigid mode. 以前我是把这当做一条理论来记得，原因比较模糊，今天把它搞搞清楚，落在文字上与大家分享。说pivot, 得先从高斯消元讲起。有限元软件求解刚度矩阵时，一般是用高斯消元。对于高斯消元，大家应该比较熟悉，这是一种基于先正向消元，再反向迭代求解的求解办法（It is based on triangularization of the coefficient matrix and evaluation of the unknowns by back-subsitution starting from the last equation）。高斯消元后的矩阵是这样的

| a11  a12   a13  a14… a1n  |      x1       c1

| 0      a22   a23  a24… a2n  |      x2       c2

| 0      0       a33  a34…a3n   |      x3       c3

| 0      0       0      a44…a4n  |   {  x4}={c4}

| ………………………… .......|      …       …

| 0      0        0        0 … ann |       xn      cn

这样第一步先求出xn,第二步就可以求出x(n-1),如此类推。在这个矩阵中每行的第一个非零的系数就是pivot。那么zero pivot的意义就明确了，就是指在高斯消元后的刚度矩阵中出现了一个全为零的一行。一个原因是出现了过构束，就好比去用10个方程去解一个9个未知数，一定有一个方程可以消去。多余那个方程有可能与原有的某一方程等价，也有可能与某一方程冲突，但结果都是zero pivot。 另一个原因是约束不够，有力，但与之对应没有刚度，无疑会出现zero pivot。

如果是约束不够时，一般在message file里还会出现NUMERICAL SINGULARITY warnings。这一般是因为力除以0刚度出现了无穷大的位移。