NOIP200407合唱队形+最长上升子序列O(n^2)详解

合唱队形解题报告

2016-05-12   4：30——6：45

NOIP200407合唱队形

难度级别：A； 运行时间限制：1000ms； 运行空间限制：256000KB； 代码长度限制：2000000B

试题描述

N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。
    合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1，2…，K，他们的身高分别为T1，T2，…，TK，则他们的身高满足T1<...<Ti>Ti+1>…>TK(1<=i<=K)。
    你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。

输入

第一行是一个整数N(2<=N<=100)，表示同学的总数。第一行有n个整数，用空格分隔，第i个整数Ti(130<=Ti<=230)是第i位同学的身高(厘米)。

输出

包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。

输入示例

8
186 186 150 200 160 130 197 220

输出示例

4

其他说明

数据范围：n<=100。

 

代码：

 #include<iostream>

 using namespace std;

 int b[],c[],a[];

 //    分别定义了三个数组：数组a（用来储存输入数据），数组b（用来存储从a[1]到a[n]的最大严格上升子序列长度），数组c（用来存储从a[n]到a[1]的最大严格下降子序列长度）

 int main()

 {

     int n,ans=,i,j;

     scanf("%d",&n);//输入

     for(i=;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);

     b[]=;

 for(i=;i<=n;i++)

 //从a[2]开始求最大严格上升子序列长度

        {

         b[i]=;

         for(j=;j<i;j++)

             if(a[i]>a[j]) b[i]=max(b[i],b[j]+);

             //如果a[i]>a[j]，则可能从a[1]到a[i]的最大严格上升子序列长度又增加了1。

     }

 c[n]=;

 //从a[n]开始求最大严格上升子序列长度

     for(i=n-;i>=;i--)

        {

         c[i]=;

         for(j=n;j>i;j--)

             if(a[i]>a[j]) c[i]=max(c[i],c[j]+);

             //如果a[i]<a[j]，则可能从a[i]到a[n]的最大严格上升子序列长度又增加了1。

     }

     for(i=;i<=n;i++)

         if(b[i]+c[i]>ans) ans=b[i]+c[i];//更新答案

     printf("%d",n-ans+);//输出

 }

《合唱队形》这道题其实就是《求最长下降/上升子序列》的翻版。但如果用循环直接搜固然很难办，而且不知道会用多长时间，所以，简单动态规划的思想很容易办到。

b[i]=1;

这句赋值语句固然很好理解，每一个元素，也可以视为一个符合题意的子序列，不论是最长上升、最长下降。所以从a[1]

到a[i]的符合题意的子序列必将有一个。比如有如下一组数。

b[1]是  1，原因如上。

那b[2]呢？如图，它显然比a[1]高，在执行如下语句时

for(j=1;j<i;j++)   if(a[i]>a[j])

j小于i，也就是2，目前符合条件的只有a[1]，a[1]又通过了判断语句，它确实小于a[i]，执行下一条语句：

b[i]=max(b[i],b[j]+1);

b[2]显然原来是1，当它和b[1]+1比时，1当然比2小，所以，b[2]自然就是2了。由此，这个方法只需要一维数组就行了。、

O(nlogn)的方法，将下次介绍。这样的方法的时间复杂度为O(n^2)。

b[1]=1;
解决完了这个问题，这道题就非常简单了，先从下往上搜一遍最长上升子序列，代码如下：

for(i=2;i<=n;i++)

       {

        b[i]=1;

        for(j=1;j<i;j++)

            if(a[i]>a[j])
b[i]=max(b[i],b[j]+1);

}

再反着从上往下搜一下最长上升子序列：

这段代码一定就很好理解了：

for(i=1;i<=n;i++)

        if(b[i]+c[i]>ans) ans=b[i]+c[i];

一直更新ans，要求出队人数最少，自然要让保留人数最多。

最后输出n-ans+1。