FFT的分析以及matlab实验

FFT（Fast Fourier Transformation），即为快速傅氏变换，是离散傅氏变换（DFT）的快速算法。

采样得到的数字信号，做FFT变换，N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。

假设信号:

S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)

它含有:2V的直流分量

频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号

频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号

假设以采样频率为Fs（200HZ)对信号进行采样，信号频率F（0HZ,50HZ,75HZ），共采样点数为N（256），那么FFT之后结果就是一个为N(256)点的复数。每一个点就对应着一个频率点。即有N（256）个频率点，第一个点表示直流分量（0HZ),第N+1个点(不存在，事实最后一个点为第256点）表示采样频率Fs（200HZ），N个间隔平分采样频率Fs，每个点的频率依次增加。某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。

点n为（1,2,3,4,········256）对应的频率分别为

(0,200/256,2*200/256,3*200/256,..........127*200/256)HZ.

由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N（200/256)，即两点的间隔位200/256.

如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。

继续回到例子，有三个频率点，0HZ,50HZ,75HZ，应该在点n(1,65,97)其所代表的频率为(0,64*200/256,96*200/256)即（0,50,75)上出现峰值。结合matlab实验拿到这些值综合分析峰值与原始信号的关系。

clf;
fs=200;N=256; %采样频率和数据点数
n=(0:N-1);
t=n/fs; %时间序列
S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180); %信号
y=fft(S,N); %对信号进行快速Fourier变换
mag=abs(y); %求得Fourier变换后的振幅
f=n*fs/N; %频率序列
subplot(2,1,1),plot(f,mag); %绘出随频率变化的振幅
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');title('200的采样频率');grid on;
subplot(2,1,2),plot(n,mag); %绘出随频率变化的振幅
xlabel('频率点');
ylabel('振幅');title('256个数据点');grid on;

　

拿到第1,65,97点的数据。 no.1：   512.000000000001

no.65:     332.553755053224 - 192.000000000001i

no.97:      2.40097106720006e-12 + 192.000000000000i

结合数据可得：计算三个点的幅值：1点 512     65点  384    97点   192

分析数据可得：直流分量为512/N=512/256=2；
50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；

75Hz信号的幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来的幅度是正确的。

计算三点相位信息：直流信号没有相位信息； 65点  ：arctan(-192, 332.55)=-0.5236  ；97点： arctan(192, 2.4e-12)=1.5708

单位为弧度转换为角度：65点： 180*(-0.5236)/pi=-30.0001　；97点：180*1.5708/pi=90.0002

总结：假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是An=sqrt（a*a+b*b），相位就是Pn=arctan(b,a)。根据以上的结果，就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。