233 Matrix

233 Matrix

有一\(n\times m\)的矩阵\(\{a\}\)，定义\(a[0][0]=0,a[0][1]=233,a[0][2]=2333,a[0][3]=23333...\),然后给出\(a[1][0],a[2][0],...,a[n][0]\),未给出或定义的位置满足\(a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1]\),询问\(a[n][m]\)的值\(mod\ 10000007\)，\(n ≤ 10,m ≤ 10^9\)。

解

显然对于第0行，我们有转移方程\(a[0][i]=a[0][i-1]\times 10+3\)，这个是可以转移的，显然需要增添辅助1，注意到n很小，故考虑整个压维，故设状态矩阵（以n=2为例）

\[\begin{bmatrix}1&a[0][i]&a[1][i-1]&a[2][i-1]\end{bmatrix}
\]

不难得知转移方程

\[\begin{bmatrix}1&3&0&0\\0&10&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{bmatrix}
\]

于是根据规律，填写转移矩阵和状态矩阵即可。

参考代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define il inline
#define ri register
#define ll long long
#define yyb 10000007
using namespace std;
struct matrix{
    ll jz[12][12];
    il void clear(){
        memset(jz,0,sizeof(jz));
    }
    il void unit(){
        clear();ri int i;
        for(i=0;i<12;++i)jz[i][i]=1;
    }
    il void print(){
        ri int i,j;
        for(i=0;i<12;++i,putchar('\n'))
            for(j=0;j<12;++j)
                printf("%lld ",jz[i][j]);
        putchar('\n');
    }
    il matrix operator*(matrix x){
        matrix y;y.clear();
        ri int i,j,k;
        for(i=0;i<12;++i)
            for(j=0;j<12;y.jz[i][j]%=yyb,++j)
                for(k=0;k<12;++k)
                    y.jz[i][j]+=jz[i][k]*x.jz[k][j]%yyb;
        return y;
    }template<class free>
    il matrix operator^(free y){
        matrix ans,x(*this);ans.unit();
        while(y){
            if(y&1)ans=ans*x;
            x=x*x,y>>=1;
        }return ans;
    }
}tran,state;
int main(){
    ll n,m;int i,j;
    while(scanf("%lld%lld",&n,&m)!=EOF){
        state.jz[0][0]=1,state.jz[0][1]=233;
        for(i=2;i<=n+1;++i)scanf("%lld",&state.jz[0][i]);
        tran.jz[0][0]=1,tran.jz[0][1]=3,tran.jz[1][1]=10;
        for(i=2;i<=n+1;++i)
            for(j=1;j<=i;++j)
                tran.jz[j][i]=1;
        state=state*(tran^m);
        printf("%lld\n",state.jz[0][n+1]);
        tran.clear(),state.clear();
    }
    return 0;
}