$Poj3585\ Accumulation Degree$ 树形$DP/$二次扫描与换根法

Poj

Description

有一个树形的水系,由n-1条河道与n个交叉点组成.每条河道有一个容量,联结x与y的河道容量记为c(x,y),河道的单位时间水量不能超过它的容量.有一个结点是整个水系的发源地,可以源源不断地流出水,为源点.树中度为1的点是入海口，可以吸收无限多的水,为汇点.待整个水系稳定时,每条河道中的水都以单位时间固定的水量流向固定的方向.整个水系的流量就定义为源点单位时间发出的水量.

求哪个点作为源点时,整个水系的流量最大.

Sol

最朴素的做法就是枚举源点,再树形DP,更新答案.复杂度是O(n²)的,不能接受.

推想:某点为源点时的流量可以由其他点为源点时的流量推出

d[x]表示x的度,f1[x]表示以x为根的树的最大流量,f2[x]表示以x为源点时水系的最大流量,y是x的子结点

首先任意选取一个点作为源点(root),一次树形DP算出所有的f1[x]

具体的转移: if(d[y]==1)f1[x]+=c(x,y)  else f1[x]+=min(f1[y],c(x,y))

现在已知f2[x],可以推出f2[y]:

f2[y]包括两个部分:

1.流向x,(没错x由父变子hhh),这部分的流量:

if(d[x]==1) 为c(x,y)  else 为f2[x]-min(f1[y],c(x,y))

2.流向原来就是它的子结点的点,这部分的流量就是f1[y]

over!

Code

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<vector>
 #define Rg register
 #define il inline
 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a));
 #define go(i,a,b) for(Rg int i=a;i<=b;++i)
 using namespace std;
 il int read()
 {
     int x=,y=;char c=getchar();
     while(c<''||c>''){if(c=='-')y=-;c=getchar();}
     while(c>=''&&c<=''){x=(x<<)+(x<<)+c-'';c=getchar();}
     return x*y;
 }
 const int N=;
 int T,n,ans,d[N],f1[N],f2[N];
 bool vis[N];
 struct node{int y,w;};
 vector<node> c[N];
 il void init()
 {
     ans=;
     mem(vis,);mem(d,);mem(f1,);mem(f2,);
     go(i,,n)c[i].clear();
 }
 il void dp1(int x)
 {
     vis[x]=;
     int hhh=c[x].size()-;
     go(i,,hhh)
     {
         int y=c[x][i].y,w=c[x][i].w;
         if(vis[y])continue;
         dp1(y);
         if(d[y]==)f1[x]+=w;
         else f1[x]+=min(f1[y],w);
     }
 }
 il void dp2(int x)
 {
     vis[x]=;
     int hhh=c[x].size()-;if(hhh<)return;
     go(i,,hhh)
     {
         int y=c[x][i].y,w=c[x][i].w;
         if(vis[y])continue;
         if(d[x]==)f2[y]=f1[y]+w;
         else f2[y]=f1[y]+min(f2[x]-min(f1[y],w),w);
         dp2(y);
     }
 }
 int main()
 {
     T=read();
     while(T--)
     {
         n=read();init();
         go(i,,n-)
         {
             int x=read(),y=read(),z=read();
             c[x].push_back((node){y,z});c[y].push_back((node){x,z});
             ++d[x],++d[y];
         }
         dp1();
                 f2[]=f1[];mem(vis,);
         dp2();
         go(i,,n)ans=max(ans,f2[i]);
         printf("%d\n",ans);
     }
     return ;
 }