BZOJ2005: [Noi2010]能量采集（欧拉函数）

Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，

栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列

有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，

表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了

一个角上，坐标正好是(0, 0)。能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器

连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于

连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植

物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20

棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。在这个例子中，总共产生了36的能

量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】

5 4

【样例输入2】

3 4

Sample Output

【样例输出1】

【样例输出2】

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

点(i,j)的损失值为$2*gcd(i,j)-1$,所有在n行m列区域内的总损失值为：

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(2*gcd(i,j)-1)
\]

\[=2\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)-nm
\]

也就是说我们只需求解出$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)$，即可解决这个问题。

因为一个数的所有因子的欧拉函数之和等于这个数。

\[\sum_{d|n}\phi(d)=n
\]

可转换为

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{d=1}^{min(i,j)}[d|i且d|j]\phi(d)
\]

上式交换顺序可得

\[\sum_{d=1}^{min(n,m)}\sum_{i=1}^n[d|i]\sum_{j=1}^m[d|j]*\phi(d)
\]

因为$\sum_{i=1}^nd|i=n/d$,$1$到$n$中能被d整除的有$n/d$个，所以上式等于

\[\sum_{d=1}^{min(n,m)}(n/d)*(m/d)*\phi(d)
\]

所以我们只需要预处理$1e5$以内的欧拉函数即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long

const int N=1e5+10;

ll phi[N];

void init(int n)

{

    for(int i=1;i<=n;i++)

    {

        phi[i]=i;

    }

    for(int i=2;i<=n;i++)

    {

        if(phi[i]==i)

        {

            for(int j=i;j<=n;j+=i)

            {

                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);

            }

        }

    }

}

int main()

{

    ll n,m;

    ll ans=0;

    cin>>n>>m;

    init(1e5);

    for(ll d=1;d<=min(n,m);d++)

    {

        ans+=(n/d)*(m/d)*phi[d];

    }

    ans=ans*2;

    ans-=n*m;

    cout<<ans<<"\n";

    return 0;

}