codevs 1576 最长严格上升子序列

题目链接：http://codevs.cn/problem/1576/

题目描述 Description

给一个数组a1, a2 ... an，找到最长的上升降子序列ab1<ab2< .. <abk，其中b1<b2<..bk。

输出长度即可。

输入描述 Input Description

第一行，一个整数N。

第二行 ，N个整数（N < = 5000）

输出描述 Output Description

输出K的极大值，即最长不下降子序列的长度

样例输入 Sample Input

5

9 3 6 2 7

样例输出 Sample Output

3

数据范围及提示 Data Size & Hint

【样例解释】

最长不下降子序列为3,6,7

解题思路

参考：北大郭炜老师

1.找子问题：“求以ak（ k=1, 2, 3…N）为终点的最长上升子序列的长度”
一个上升子序列中最右边的那个数，称为该子序列的“终点”。
虽然这个子问题和原问题形式上并不完全一样，但是只要这N个子问题都解决了，那么这N个子问题的解中，最大的那个就是整个问题的解。

2. 确定状态
子问题只和一个变量-- 数字的位置相关。因此序列中数的位置k 就是“状态”，而状态 k 对应的“值”，就是以a[k]做为“终点”的最长上升子序列的长度。状态一共有N个。

3. 找出状态转移方程

maxLen [k]表示以a[k]做为“终点”的最长上升子序列的长度那么：
初始状态： maxLen [1] = 1
maxLen[k]= max { maxLen [i]： 1<=i < k 且 a[i ]< a[k]且 k≠1 } + 1
若找不到这样的i,则maxLen[k] = 1

maxLen[k]的值，就是在a[k]左边，“终点”数值小于a[k] ，且长度最大的那个上升子序列的长度再加1。因为a[k]左边任何“终点”小于a[k]的子序列，加上a[k]后就能形成一个更长的上升子序列 。

 1 #include <stdio.h>
 2 #define maxN 5005
 3 int n,a[maxN],maxLen[maxN];//maxLen[k]表示以a[k]做为“终点”的最长上升子序列的长度
 4 int main(int argc, char *argv[])
 5 {
 6     int i,j;
 7     scanf("%d",&n);
 8     for(i=0;i<n;i++) {  scanf("%d",&a[i]); maxLen[i]=1;  }
 9
10     for(i=1;i<n;i++)//枚举所有子序列的终点
11     {
12         for(j=0;j<i;j++)//枚举以a[i]做终点的子序列中a[i]的前缀元素
13         {
14             if(a[j]<a[i])//尝试用a[j]做a[i]的直接前缀形成新的子序列
15             {
16                 maxLen[i]=(maxLen[j]+1>maxLen[i]?maxLen[j]+1:maxLen[i]);
17             }
18         }
19     }
20     printf("%d\n",maxLen[n-1]);
21     return 0;
22 }

上面的代码写错了，抱歉。更正如下：

 #include <stdio.h>
 #define maxN 5005
 int main(int argc, char *argv[])
 {
     int i,j,t;
     int n,a[maxN],maxLen[maxN];//maxLen[k]表示以a[k]做为“终点”的最长上升子序列的长度
     int max;

     scanf("%d",&n);
     for(i=;i<n;i++) {  scanf("%d",&a[i]); maxLen[i]=;  }
     for(i=;i<n;i++)//枚举所有子序列的终点
     {
         for(j=;j<i;j++)//枚举以a[i]做终点的子序列中a[i]的前缀元素
         {
             if(a[j]<a[i])//尝试用a[j]做a[i]的直接前缀形成新的子序列
             {
                 maxLen[i]=(maxLen[j]+>maxLen[i]?maxLen[j]+:maxLen[i]);
             }
         }
     }
     max=maxLen[];
     for(i=;i<n;i++)
         if(maxLen[i]>max) max=maxLen[i];
     printf("%d\n",max);
     return ;
 }

思考题 ： 如何改进程序，使之能够输出最长上升子序列 ？

思路：新增pre[ ]，其中pre[k]=x表示在a[ ]序列构成的若干个上升子序列中，a[k]的前驱是a[x]。一开始pre[ ]全部初始化为-1表示一开始所有元素的前驱都是自己本身。在循环求解maxLen[i]的同时，更新pre[i]。最后在扫描出maxLen[ ]最大值为maxLen[i]以后，从pre[i]往前推即可。假如要顺序输出该最长上升子序列，可以把逆推pre[ ]的过程保存再输出。

参考代码：

 #include<stdio.h>
 #include<string.h>
 #define maxN 5005
 int main(int argc, char *argv[])
 {
     int i,j,t;
     int n,a[maxN],maxLen[maxN];//maxLen[k]表示以a[k]做为“终点”的最长上升子序列的长度
     int max;
     int pre[maxN];
     int c[maxN],maxIndex;

     memset(pre,-,sizeof(pre));

     scanf("%d",&n);
     for(i=;i<n;i++) {  scanf("%d",&a[i]); maxLen[i]=;  }

     for(i=;i<n;i++)//枚举所有子序列的终点
     {
         for(j=;j<i;j++)//枚举以a[i]做终点的子序列中a[i]的前缀元素
         {
             if(a[j]<a[i])//尝试用a[j]做a[i]的直接前缀形成新的子序列
             {
                 if(maxLen[j]+>maxLen[i])
                 {
                     maxLen[i]=maxLen[j]+;
                     pre[i]=j;
                 }
             }
         }
     }
     max=maxLen[];
     for(i=;i<n;i++)
         if(maxLen[i]>max) { max=maxLen[i]; maxIndex=i; }
     printf("%d\n",max);

     j=;
     c[j++]=a[maxIndex];
     while(pre[maxIndex]!=-)
     {
         maxIndex=pre[maxIndex];
         c[j++]=a[maxIndex];
     }
     for(i=j-;i>=;i--)
     {
         printf("%d ",c[i]);
     }
     printf("\n");
     return ;
 }

输出最长上升子序列的另一种思路：

 #include <stdio.h>
 int n,size,a[][],s,ans,next;
 int main(int argc, char *argv[])
 {
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<n;i++)
     {
         int t;
         scanf("%d",&t);
         a[i][]=t;a[i][]=;a[i][]=;
         //a[i][1]表示以a[i][0]开头的最长上升子序列的长度。
         //a[i][2]表示在以a[i][0]开头的最长上升子序列中a[i][0]的下一个数在原序列中的下标。
     }

     for(int i=n-;i>=;i--)
     {
         size=next=;
         for(int j=i+;j<n;j++)
             if(a[j][]>a[i][]&&a[j][]>size) {size=a[j][];next=j;}
         if(size>) {a[i][]=size+;a[i][]=next;}
     }

     ans=;
     for(int i=;i<n;i++)
         if(a[i][]>a[ans][]) ans=i;

     printf("%d\n",a[ans][]);

     /*for(int i=0;i<n;i++)
         printf("%d %d %d %d\n",a[i][0],a[i][1],a[i][2],i);*/

     int i=ans;
     while(a[i][]>)
     {
         printf("%d ",a[i][]);
         i=a[i][];
     }
     printf("%d\n",a[i][]);
     return ;
 }

测试OJ地址：

http://noi.openjudge.cn/ch0206/1759/

http://bailian.openjudge.cn/practice/2757/