【2020.11.17提高组模拟】数数（cuvelia）题解

题目描述

给你一个长度为n的序列\(a_1...a_n\)。对于所有的\(k\in [1,n]\)选择序列中的\(k\)个数(下标为\(i_1,i_2...i_k\))，使得\(\sum_{l=1}^k\sum_{r=l}^k|a_{i_l}-a_{i_r}|\)最大，并对于每个\(k\)求出这个最大值。

\(n\le 3\times 10^5\)。

\(|a_i|\le 10^6\)

题意分析

求从一个序列中有序地取出k个数后的最大值，该值为每个数减去其前面所有数的绝对值之和。

首先对原序列排序。排序不影响答案。

接着，显然取出最大和最小值一定没错的。

再依次从没有取出的数中，取最小的和最大的放在取出的序列中间。

这个又为什么是对的呢？

考虑现在要取出的数放到取出的序列中间时，左右各有\(lsize\),\(rsize\)个数，左右数字和各为\(lsum\),\(rsum\)。

那么插入这个数\(x\)对答案的贡献为

\[(rsum-rsize*x)+(lsize*sum-lsum)
\]

提取

\[(rsum-lsum)-(rsize-lsize)*x
\]

这个式子同时解释了为什么整个取出序列必须时升序的，且要从最大值和最小值开始取数，以及为什么要尽量保持左右数的数量平均。

Code

#include<iostream>

#include<algorithm>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<map>

#include<set>

#include<queue>

#include<vector>

#define IL inline

#define re register

#define LL long long

#define ULL unsigned long long

#define debug printf("Now is %d\n",__LINE__);

using namespace std;

template<class T>inline void read(T&x)

{

    char ch=getchar();

    int fu;

    while(!isdigit(ch)&&ch!='-') ch=getchar();

    if(ch=='-') fu=-1,ch=getchar();

    x=ch-'0';ch=getchar();

    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}

    x*=fu;

}

inline int read()

{

	int x=0,fu=1;

    char ch=getchar();

    while(!isdigit(ch)&&ch!='-') ch=getchar();

    if(ch=='-') fu=-1,ch=getchar();

    x=ch-'0';ch=getchar();

    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}

    return x*fu;

}

int G[55];

template<class T>inline void write(T x)

{

    int g=0;

    if(x<0) x=-x,putchar('-');

    do{G[++g]=x%10;x/=10;}while(x);

    for(int i=g;i>=1;--i)putchar('0'+G[i]);putchar('\n');

}

LL a[1000010];

LL ansxb[1000][1000];

LL ans[1000];

int n;

int main()

{

	freopen("cuvelia.in","r",stdin);

	freopen("cuvelia.out","w",stdout);

	n=read();

	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();

	sort(a+1,a+n+1);

	if(n<=5)

	{

		do

		{

			re LL now=0;

			for(re int i=1;i<=n;i++)

			{

				for(re int j=1;j<=i;j++) now+=abs(a[i]-a[j]);

				if(now>ans[i])

				{

					ans[i]=now;

					for(int j=1;j<=i;j++) ansxb[i][j]=a[j];

				}

			}

		}while(next_permutation(a+1,a+n+1));

		for(re int i=1;i<=n;i++)

		{

			cout<<ans[i]<<endl;

//			cout<<i<<":"<<ans[i]<<" = ";

//			for(re int j=1;j<=i;j++)

//			{

//				cout<<ansxb[i][j]<<" ";

//			}

//			cout<<endl;

		}

	}

	else

	{

		cout<<0<<endl;

		LL ans=a[n]-a[1];

		LL l=2,r=n-1,lsum=a[1],lsize=1,rsum=a[n],rsize=1;

		cout<<ans<<endl;

		for(re int i=3;i<=n;i++)

		{

			if(i&1)

			{

				ans+=rsum-rsize*a[l]-lsum+lsize*a[l];

				lsum+=a[l];

				lsize++;

				l++;

			}

			else

			{

				ans+=rsum-rsize*a[r]-lsum+lsize*a[r];

				rsum+=a[r];

				rsize++;

				r--;

			}

			write(ans);

		}

	}

	return 0;

}

结语

考试的时候不知道为什么脑子抽到了，用了\(cout\)来输出这\(3*10^5\)个答案。

然后就

\[100\Rightarrow70\\
Rank19\Rightarrow36
\]

好耶！（