Solution -「牛客 31454H」Permutation on Tree

\(\mathscr{Description}\)

  Link.

  给定一棵含有 \(n\) 个点的有根外向树, 对于所有满足树形拓扑关系的结点遍历顺序 \(p_{1..n}\) 求出 \(\sum_{i=2}^n|p_{i-1}-p_i|\) 之和. 答案对 \((10^9+7)\) 取模.

  \(\require{cancel} \cancel{n\le200}\) \(n\le5\times10^3\).

\(\mathscr{Solution}\)

  膜拜理论信息学家 \(\textbf{OneInDark}\). 不仅踩爆标算, 还极大加速了 BI (Bunny Intelligence) 代码生成工具的开发进程.

  由于是被讲明白的, 所以可能会比较 unmotivated 呜.

  考虑枚举序列上相邻的编号 \(x,y\), 计数它们在多少个序列中出现.

  直接表示出想要求的东西? 设 \(w=\operatorname{lca}(u,v)\), 令 \(f(x,y)\) 表示仅考虑 \(w\) 子树内的序列, \(x,y\) 贴贴且认为 \(x,y\) 子树内结点间无序的方案数. 注意这里为了方便转移, 我们钦定了一些无序关系.

  为方便推导, 先预处理出 \(g(u)\) 表示 \(u\) 子树内的合法序列数量. 设 \(q_u\) 表示 \(u\) 的父亲, \(s_u\) 表示 \(u\) 的子树大小, 对于边界情况, \(q_x=q_y=w\) 时, 有

\[f(x,y)=\binom{s_w-2}{s_x+s_y-1}\binom{s_w-1-s_x-s_y}{\{s_u\mid u\in\operatorname{son}(w)\setminus\{x,y\}\}}\prod_{u\in\operatorname{son}(u)\setminus\{x,y\}}g(u).
\]

即, 其他兄弟该怎么选怎么选; 对于 \(x,y\) 子树, 把 \(x,y\) 贴在一个位置之后只剩 \(s_w-2\) 个空位和 \(s_x+s_y-1\) 个结点需要放进去.

  对于其余情况, \(f(x,y)\) 自然是从 \(f(q_x,y)\) 和 \(f(x,q_y)\) 转移. 考虑从 \(q_x\) 下降到 \(x\) 的过程, \(x\) 的兄弟们需要被确定顺序, 贴贴的位置继续下放没有影响, 因而

\[f(x,y){\overset{+}{\longleftarrow}}\binom{s_{q_x}+s_y-2}{s_{q_x}-s_x-1}\binom{s_{q_x}-1-s_x}{\{s_u\mid u\in\operatorname{son}(q_x)\setminus\{x\}\}}\prod_{u\in\operatorname{son}(q_x)\setminus\{x\}}g(u)\cdot f(q_x,y).
\]

即, 选出 \(x\) 的兄弟们的位置, 选出它们之间的顺序, 各自内部再定序, 乘上转移到的状态. \(q_y\) 的转移完全对称. 不过仅当 \(q_x\neq w\) 或者 \(q_y\neq w\) 时才会发生上述转移.

  问题是, 用这玩意儿其实并不方便表示答案. 先假设 \(w\) 就是全局根, 令 \(r_w\) 表示 \(\operatorname{lca}\) 为 \(w\) 的"答案", 那么

\[r_w=\sum_{\operatorname{lca}(x,y)=w}|x-y|\binom{s_x+s_y-2}{s_x-1}g(x)g(y)f(x,y).
\]

其中中间三项系数就是补上 \(x,y\) 的定序. 注意 \(x,y\) 一定是子树内最先选出来的, 而且拿去贴贴了, 所有带了一些 \(-1\) 的常数.

  最后, 自然是把 \(r_w\) 的信息拿到真正的树根上去:

\[r_{q_u}\overset{+}{\longleftarrow}\binom{s_{q_u}-2}{s_u-1}\binom{s_{q_u}-1-s_u}{\{s_v\mid v\in\operatorname{son}(q_u)\setminus\{u\}\}}\prod_{v\in\operatorname{son}(q_u)\setminus\{u\}}g(v)\cdot r_u.
\]

组合意义比较简单, 注意 \(u\) 子树内有一对点在贴贴, 所以大小会减小 \(1\).

  至于那些丑陋的 \setminus, 都可以在 \(g(u)\) 的基础上修修补补 \(\mathcal O(1)\) 个因子算出来. 精细处理一些需要使用的逆元, 可以做到严格的 \(\mathcal O(n^2)\).

  所以最奇妙的地方还是这个 \(f\) 的状态设计. 无序有序的钦定方便了后续转移.

\(\mathscr{Code}\)

/*+Rainybunny+*/

#include <bits/stdc++.h>

#define rep(i, l, r) for (int i = l, rep##i = r; i <= rep##i; ++i)
#define per(i, r, l) for (int i = r, per##i = l; i >= per##i; --i)

const int MAXN = 200, MOD = 1e9 + 7;
int n, rt, ecnt, head[MAXN + 5], fac[MAXN + 5], ifac[MAXN + 5];
int bino[MAXN + 5][MAXN + 5], ibino[MAXN + 5][MAXN + 5];
int fa[MAXN + 5], f[MAXN + 5][MAXN + 5];
int g[MAXN + 5], ig[MAXN + 5], siz[MAXN + 5], ans[MAXN + 5];
struct Edge { int to, nxt; } graph[MAXN * 2 + 5];

inline int iabs(const int u) { return u < 0 ? -u : u; }
inline int mul(const int u, const int v) { return 1ll * u * v % MOD; }
inline void subeq(int& u, const int v) { (u -= v) < 0 && (u += MOD); }
inline int sub(int u, const int v) { return (u -= v) < 0 ? u + MOD : u; }
inline void addeq(int& u, const int v) { (u += v) >= MOD && (u -= MOD); }
inline int add(int u, const int v) { return (u += v) < MOD ? u : u - MOD; }
inline int mpow(int u, int v) {
    int ret = 1;
    for (; v; u = mul(u, u), v >>= 1) ret = mul(ret, v & 1 ? u : 1);
    return ret;
}

inline void link(const int u, const int v) {
    graph[++ecnt] = { v, head[u] }, head[u] = ecnt;
    graph[++ecnt] = { u, head[v] }, head[v] = ecnt;
}

inline void init() {
    bino[0][0] = 1;
    rep (i, 1, n) {
        bino[i][0] = 1;
        rep (j, 1, i) bino[i][j] = add(bino[i - 1][j - 1], bino[i - 1][j]);
    }
    rep (i, 0, n) {
        ibino[i][0] = 1;
        rep (j, 1, i) ibino[i][j] = mul(ibino[i][j - 1], bino[i][j]);
        int s = mpow(ibino[i][i], MOD - 2);
        per (j, i, 1) {
            ibino[i][j] = mul(s, ibino[i][j - 1]);
            s = mul(s, bino[i][j]);
        }
    }
}

inline void getG(const int u) {
    g[u] = siz[u] = 1;
    for (int i = head[u], v; i; i = graph[i].nxt) {
        if ((v = graph[i].to) != fa[u]) {
            fa[v] = u, getG(v), siz[u] += siz[v];
            g[u] = mul(bino[siz[u] - 1][siz[v]], mul(g[u], g[v]));
        }
    }
    ig[u] = mpow(g[u], MOD - 2);
}

inline int calc(const int x, const int y, const int u) {
    int& ret = f[x][y];
    if (ret) return ret;
    if (fa[x] == u && fa[y] == u) {
        ret = mul(g[u], mul(mul(ibino[siz[u] - 1][siz[x]],
          ibino[siz[u] - siz[x] - 1][siz[y]]), mul(ig[x], ig[y])));
        ret = mul(ret, bino[siz[u] - 2][siz[x] + siz[y] - 1]);
        return ret;
    }
    if (fa[x] != u) {
        addeq(ret, mul(mul(bino[siz[fa[x]] + siz[y] - 2]
          [siz[fa[x]] - siz[x] - 1], mul(g[fa[x]], mul(ig[x],
          ibino[siz[fa[x]] - 1][siz[x]]))), calc(fa[x], y, u)));
    }
    if (fa[y] != u) {
        addeq(ret, mul(mul(bino[siz[fa[y]] + siz[x] - 2]
          [siz[fa[y]] - siz[y] - 1], mul(g[fa[y]], mul(ig[y],
          ibino[siz[fa[y]] - 1][siz[y]]))), calc(x, fa[y], u)));
    }
    return ret;
}

inline std::vector<int> solve(const int u) {
    std::vector<int> sub;
    int is = mpow(siz[u] - 1, MOD - 2);
    for (int i = head[u], v; i; i = graph[i].nxt) {
        if ((v = graph[i].to) != fa[u]) {
            fa[v] = u;
            addeq(ans[u], mul(iabs(u - v), mul(mul(siz[v], is), g[u])));

            auto&& tmp(solve(v));
            for (int x: sub) for (int y: tmp) {
                int coe = mul(iabs(x - y) << 1, mul(g[x], mul(g[y],
                  bino[siz[x] + siz[y] - 2][siz[x] - 1])));
                addeq(ans[u], mul(coe, calc(x, y, u)));
            }

            sub.reserve(sub.size() + tmp.size());
            for (int y: tmp) sub.push_back(y);
        }
    }
    return sub.push_back(u), sub;
}

inline void summary(const int u) {
    int is = mpow(siz[u] - 1, MOD - 2);
    for (int i = head[u], v; i; i = graph[i].nxt) {
        if ((v = graph[i].to) != fa[u]) {
            summary(v);
            int coe = mul(g[u], mul(bino[siz[u] - 2][siz[v] - 1],
              mul(ig[v], ibino[siz[u] - 1][siz[v]])));
            addeq(ans[u], mul(ans[v], coe));
        }
    }
}

int main() {
    // freopen("tree.in", "r", stdin);
    // freopen("tree.out", "w", stdout);

    scanf("%d %d", &n, &rt), init();
    rep (i, 2, n) { int u, v; scanf("%d %d", &u, &v), link(u, v); }
    getG(rt), solve(rt), summary(rt);
    printf("%d\n", ans[rt]);
    return 0;
}