杂题选讲I

MUH and Cube Walls CF471D

由于序列同时加 \(x\)，该序列的差分数组不变，所以求出 \(a,b\) 的差分数组跑 kmp 或哈希。

书柜

题目描述：

有 \(A,B\) 两种书排成的序列，序列长度为 \(n\)，两种书高度分别为 \(h_A,h_B\)，\(q\) 次询问每次给定一段区间，你需要移除一些书使得剩下的书严格递增，求剩下的书的最多数量。

\(n\le 5\times 10^6\)，\(q \le 5\times 10^5\)，空间限制 \(128\) MB。

发现若 \(h_A < h_B\)，询问区间内有子序列 \(AB\) 则答案为 \(2\) 否则为 \(1\)，反之亦然，所以若 \(a_i\) 为 \(A\) 则维护前面 \(B\) 出现位置的最大值记为 \(p0_i\)，\(a_i\) 为 \(B\) 同理，查询时求对应最大值是否大于区间左端点即可。

注意：最大值用树状数组维护，用线段树、ST表等数据结构会被卡空，树状数组建树要 \(O(n)\) 不然会被卡时，查询 \(O(\log^2 n)\) 就行。

// author : yhy
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using LL = long long;
using Pii = pair<int, int>;

const int kMaxN = 5e6 + 5;

string s;
int n, q, ha, hb, pre[2] = {int(-1e9), int(-1e9)}, c[2][kMaxN], t[2][kMaxN];

int query(int l, int r, int ty) {
  int res = 0;
  for (; r >= l;) {
    r - (r & -r) + 1 >= l ? res = max(res, c[ty][r]), r = r - (r & -r) :
                            res = max(res, t[ty][r--]);
  }
  return res;
}

signed main() {
  cin.tie(0)->ios::sync_with_stdio(0);
  cin >> n >> q >> ha >> hb >> s, s = ' ' + s;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    t[0][i] = (s[i] == 'A' ? pre[1] : -1e18);
    t[1][i] = (s[i] == 'B' ? pre[0] : -1e18);
    s[i] == 'A' && (pre[0] = i);
    s[i] == 'B' && (pre[1] = i);
  }
  for (int ty = 0; ty <= 1; ty++) {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      c[ty][i] = max(c[ty][i], t[ty][i]);
      int j = i + (i & -i);
      j <= n && (c[ty][j] = max(c[ty][j], c[ty][i]));
    }
  }
  for (int l, r; q--;) {
    cin >> l >> r;
    if (ha > hb) {
      cout << (query(l, r, 0) >= l ? 2 : 1) << '\n';
    } else if (ha < hb) {
      cout << (query(l, r, 1) >= l ? 2 : 1) << '\n';
    } else {
      cout << "1\n";
    }
  }
  return 0;
}

Equation AT_arc158_d

对于任意三元组 \((x,y,z)\)，一定有一个数 \(t\) 满足：

\[(x+y+z)(x^n+y^n+z^n)(x^{2n}+y^{2n}+z^{2n})\ \equiv\ t(x^{3n}+y^{3n}+z^{3n})\pmod{p}
\]

因为左式可以除右式，那么有：

\[(\frac{x}{t}+\frac{y}{t}+\frac{z}{t})((\frac{x}{t})^n+(\frac{y}{t})^n+(\frac{z}{t})^n)((\frac{x}{t})^{2n}+(\frac{y}{t})^{2n}+(\frac{z}{t})^{2n})\ \equiv\ t((\frac{x}{t})^{3n}+(\frac{y}{t})^{3n}+(\frac{z}{t})^{3n})\pmod{p}
\]

所以 \((\frac{x}{t},\frac{y}{t},\frac{z}{t})\) 就是一组合法的解，不断随机 \(x,y,z\)，如果 \(x \ne y \ne z\) 且左式右式的值均不为 \(0\) 就输出答案。

Teleporting Takahashi AT_abc240_g

先考虑一维情况，假设从 \(0\) 点走到 \(x\) 点，总共能走 \(n\) 步，\(a\) 步向前，\(b\) 步向后，很容易列出方程：

\[ \begin{cases}
a+b=n\\a-b=x
\end{cases}
\]

易得 \(a=\frac{n+x}{2},b=\frac{n-x}{2}\)，那么方案数就为为 \(C_n^a\)，注意若 \(n<x\) 或 \(\frac{n+x}{2}\mod2=1\)，则无解。

再考虑二维情况，将坐标系旋转 \(45^\circ\)，坐标 \((x,y)\) 就变成了 \((x+y,y-x)\)，此时移动增量变成了 \((+1,+1),(+1,-1),(-1,+1),(-1,-1)\) 两维互不干涉，那么问题就变为了两个一维的问题相乘即可。

扩展到三维，由于 \(-10^7 \le z \le 10^7\)， 枚举第三维往上走几步往下走几步，减去步数就变成了二维问题。

// author : yhy
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using LL = long long;
using Pii = pair<LL, LL>;

const LL kMaxN = 1e7 + 5, M = 998244353;

LL n, x, y, z, fac[kMaxN], inv[kMaxN];

LL qpow (LL a, LL n) {
  LL r = 1, w = a;
  for (LL i = 1; i <= n; i <<= 1) {
    n & i && (r = r * w % M);
    w = w * w % M;
  }
  return r;
}
LL C(LL x, LL y) {
  return fac[x] * inv[x - y] % M * inv[y] % M;
}
LL solve(LL k, LL tx, LL ty) {
  LL a = abs(tx - ty), b = abs(tx + ty);
  if ((k - a) % 2 == 1 || (k +- b) % 2 == 1 || k < a || k < b) {
    return 0;
  }
  return C(k, (k - a) / 2) * C(k, (k - b) / 2) % M;
}

signed main() {
  cin >> n >> x >> y >> z, x = abs(x), y = abs(y), z = abs(z);
  fac[0] = inv[0] = 1;
  for (LL i = 1; i <= 1e7; i++) {
    fac[i] = fac[i - 1] * i % M;
    inv[i] = inv[i - 1] * qpow(i, M - 2) % M;
  }
  LL ans = 0;
  for (LL i = 0, j = x; i + j <= n; i++, j++) {
    ans = (ans + C(n, i) * C(n - i, j) % M * solve(n - i - j, y, z) % M) % M;
  }
  cout << ans;
  return 0;
}