HDU.2899.Strange fuction(牛顿迭代)

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\(Description\)

　　求函数\(F(x)=6\times x^7+8\times x^6+7\times x^3+5\times x^2-y\times x\)在\(x\in \left[0,100\right]\)时的最小值。

\(Solution\)

　　\(x\geq 0\)时\(F(x)\)为单峰凹函数，三分即可。

　　而且由此可知\(F(x)\)的导数应是单增的。函数最值可以转化为求导数零点问题，于是也可以二分求\(F'(x)\)的零点，或者用牛顿迭代求。

　　峰值函数最值也可以用模拟退火求。

　　练习下牛顿迭代。其它代码可以见这。

　　牛顿迭代：$$x=x_0-\frac{F(x_0)}{F'(x_0)}$$

　　对\(F(x)\)泰勒展开，\(F(x)=F(x_0)+F'(x_0)(x-x_0)+\frac{F''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots+\frac{F^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)\)

　　为方便计算？只保留线性部分\(F(x)=F(x_0)+F'(x_0)(x-x_0)\)，令其等于\(0\)。

　　就可以得到\(x=x_0-\frac{F(x_0)}{F'(x_0)}\)

　　多次迭代、多次选取\(x_0\)即可。

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#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define eps (1e-7)

double y;
inline double f(double x){
	return 6*pow(x,7)+8*pow(x,6)+7*pow(x,3)+5*x*x-y*x;
}
inline double fd(double x){
	return 42*pow(x,6)+48*pow(x,5)+21*x*x+10*x-y;
}
inline double fdd(double x){
	return 252*pow(x,5)+240*pow(x,4)+42*x+10;
}
double Get_zero(double x)//求导函数零点
{
	double las=x+1;
	while(fabs(las-x)>eps) las=x, x=x-fd(x)/fdd(x);
	return x;
}

int main()
{
	int T; scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%lf",&y);
		double ans=1e15;
		for(int i=0; i<=100; i+=10) ans=std::min(ans,f(Get_zero(i)));
		printf("%.4lf\n",ans);
	}
	return 0;
}