【loj6437】 【PKUSC2018】 PKUSC 计算几何

题目大意：给你一个m个点的简单多边形。对于每个点i∈[1,n]，作一个以O点为原点且过点i的圆，求该圆在多边形内的圆弧长度/圆长。

其中n≤200，m≤500。

我们将n个点分开处理。

首先，我们要判断需处理的圆，是否被包含在多边形内，或者圆把多边形包含了。

我们显然可以从原点出发，向上作一条x=0的射线，判断该射线与多边形有多少个交点。

显然，若交点数量为奇数个，那么该点就在多边形内，否则在多边形外。

若圆与多边形存在交点，我们对多边形的每条边，求出其与圆，有多少个交点（0个，1个，2个，其实1个点可以当2个去处理）

这里就是简单地推个式子就可以求出，详见代码。

求出这些交点后，进行极角排序。

对于两个排序后相邻的点，我们要判断，由这两个点所构成的弧，是否被多边形包含。

有一种很暴力的思路，就是求出这两个点在弧上的中点，然后作一条从该点出发，向上作一条平行于x轴的射线，求这条射线与多边形的相交次数。

显然，若交点数量为奇数个，那么该点就在多边形内，否则在多边形外（和上面判断圆是否被包含的部分相同）。

对于每个圆，最多会出现2m个交点，最后单次判断两点所构乘的圆弧是否被多边形包含，需要O(m)的时间，则总时间复杂度为O(n*m^2)。

下面是一些需要注意的细节：

1，上述判断奇数偶数个点时，所做射线可能会经过多边形两条边的交点。考虑到输入的点全部都是整点，故对构成多边形的点集偏移2eps即可。

2，由于点要被多边形严格包含，那么在判断时，范围要向两边缩减eps。

思路简单，代码复杂，qwq....

（听说还卡精度）。。。

 #include<bits/stdc++.h>
 #define M 505
 #define DB long double
 #define eps 1e-6
 #define PI 3.14159265358979323846
 using namespace std;

 bool zero(DB x){return fabs(x)<eps;}
 struct pt{
     DB x,y;
     pt(){x=y=;}
     pt(DB xx,DB yy){x=xx; y=yy;}
     friend pt operator -(pt a,pt b){return pt(a.x-b.x,a.y-b.y);}
     friend bool operator <(pt a,pt b){return atan2(a.y,a.x)<atan2(b.y,b.x);}
     DB mo(){return x*x+y*y;}
 };

 struct line{
     DB a,b,c;
     line(){a=b=c=;}
     line(DB aa,DB bb,DB cc){a=aa; b=bb; c=cc;}
     line(pt A,pt B){
         DB x1=A.x,y1=A.y;
         DB x2=B.x,y2=B.y;
         a=y1-y2; b=x2-x1;
         c=-a*x2-b*y2;
     }
 };

 pt a[M],b[M],c[M]; int n,m;
 int type[M]={};
 DB sita[M]={};
 DB solve(pt hh){
     memset(c,,sizeof(c));
     memset(type,,sizeof(type));
     int cnt=,ok=;
     DB R=hh.x*hh.x+hh.y*hh.y,r=sqrt(R);
     for(int i=;i<=m;i++){
         line p=line(b[i],b[i+]);
         if(fabs(p.c/sqrt(p.a*p.a+p.b*p.b))-eps<r) ok=;
         DB xl=min(b[i].x,b[i+].x),xr=max(b[i].x,b[i+].x);
         DB yl=min(b[i].y,b[i+].y),yr=max(b[i].y,b[i+].y);
         xl-=eps; yl-=eps; xr+=eps; yr+=eps;
         DB x1,x2,y1,y2; bool is0=;
         if(zero(p.a)){
             y1=y2=-p.c/p.b;
             DB delta=R-y1*y1;
             if(delta<-eps) continue;
             if(zero(delta)) is0=;
             x1=-sqrt(delta); x2=sqrt(delta);
         }else{
             DB A=p.b*p.b+p.a*p.a;
             DB B=p.b*p.c*;
             DB C=p.c*p.c-R*p.a*p.a;
             DB delta=B*B-*A*C;
             if(delta<-eps) continue;
             if(zero(delta)) is0=;
             y1=(-B+sqrt(delta))/(*A);
             y2=(-B-sqrt(delta))/(*A);
             x1=(-p.b*y1-p.c)/p.a;
             x2=(-p.b*y2-p.c)/p.a;
         }
         int ok1,ok2;
         if(xl<=x1&&x1<=xr&&yl<=y1&&y1<=yr){ c[++cnt]=pt(x1,y1); if(is0) continue;}
         if(xl<=x2&&x2<=xr&&yl<=y2&&y2<=yr) c[++cnt]=pt(x2,y2);
     }
     if(ok){
         //return 1;
         c[cnt=]=pt(,);
     }else{
         sort(c+,c+cnt+);
         for(int i=;i<=cnt;i++) sita[i]=atan2(c[i].y,c[i].x);
     }
     c[cnt+]=c[]; sita[cnt+]=sita[]+*PI;
     DB ans=;
     for(int i=;i<=cnt;i++){
         double SITA=(sita[i]+sita[i+])/;
         pt hh=pt(r*cos(SITA)+eps*,r*sin(SITA));
         int cnt=;
         for(int j=;j<=m;j++){
             double l=b[j].x,r=b[j+].x;
             if(zero(b[j].x-b[j+].x)) continue;
             line p=line(b[j],b[j+]);
             double y=-(p.a*hh.x+p.c)/p.b;
             if(l>r) swap(l,r);
             l+=eps; r-=eps;
             if(l<=hh.x&&hh.x<=r&&y+eps>hh.y) cnt++;
         }
         if(cnt&) ans+=sita[i+]-sita[i];
     }
     ans/=(.*PI);
     return ans;
 }

 int main(){
 //    freopen("in.txt","r",stdin);
 //    freopen("out.txt","w",stdout);
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(int i=;i<=n;i++) cin>>a[i].x>>a[i].y;
     for(int i=;i<=m;i++) cin>>b[i].x>>b[i].y;
     b[m+]=b[];
     DB ans=;
     for(int i=;i<=n;i++){
         ans+=solve(a[i]);
         //printf("%.5Lf\n",ans);
     }
     double res=ans;
     printf("%.5lf\n",res);
 }