洛谷 P4027 [NOI2007]货币兑换 解题报告

P4027 [NOI2007]货币兑换

题目描述

小 \(Y\) 最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券：\(A\) 纪念券（以下简称 \(A\) 券）和 \(B\) 纪念券（以下简称 \(B\) 券）。每个持有金券的顾客都有一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。

每天随着市场的起伏波动，两种金券都有自己当时的价值，即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目。我们记录第 \(K\) 天中 \(A\) 券和 \(B\) 券的价值分别为 \(A_K\) 和 \(B_K\) （元/单位金券）。

为了方便顾客，金券交易所提供了一种非常方便的交易方式：比例交易法。

比例交易法分为两个方面：

a) 卖出金券：顾客提供一个\([0，100]\)内的实数 \(OP\) 作为卖出比例，其意义为：将 \(OP\%\) 的 \(A\) 券和 \(OP\%\) 的 \(B\) 券以当时的价值兑换为人民币；

b) 买入金券：顾客支付 \(IP\) 元人民币，交易所将会兑换给用户总价值为 \(IP\) 的金券，并且，满足提供给顾客的 \(A\) 券和 \(B\) 券的比例在第 \(K\) 天恰好为 \(Rate_K\)；

例如，假定接下来 \(3\) 天内的 \(A_k\) 、\(B_k\) 、\(Rate_K\) 的变化分别为：

时间	\(A_k\)	\(B_k\)	\(Rate_k\)
第一天	1	1	1
第二天	1	2	2
第三天	2	2	3

假定在第一天时，用户手中有 \(100\) 元人民币但是没有任何金券。

用户可以执行以下的操作：

时间	用户操作	人民币(元)	A券的数量	B券的数量
开户	无	\(100\)	\(0\)	\(0\)
第一天	买入 \(100\)元	\(0\)	\(50\)	\(50\)
第二天	卖出 \(50\%\)	\(75\)	\(25\)	\(25\)
第二天	买入\(60\)元	\(15\)	\(55\)	\(40\)
第三天	卖出 \(100\%\)	\(205\)	\(0\)	$0

注意到，同一天内可以进行多次操作。

小 \(Y\) 是一个很有经济头脑的员工，通过较长时间的运作和行情测算，他已经知道了未来 \(N\) 天内的 \(A\) 券和 \(B\) 券的价值以及 \(Rate\)。他还希望能够计算出来，如果开始时拥有 \(S\) 元钱，那么 \(N\) 天后最多能够获得多少元钱。

输入输出格式

输入格式：

第一行两个正整数 \(N\)、\(S\)，分别表示小 \(Y\) 能预知的天数以及初始时拥有的钱数。

接下来 \(N\) 行，第 \(K\) 行三个实数 \(A_K\) 、\(B_K\) 、\(Rate_K\) ，意义如题目中所述。

输出格式：

只有一个实数 \(MaxProfit\)，表示第 \(N\) 天的操作结束时能够获得的最大的金钱数目。答案保留 \(3\) 位小数。

说明

本题没有部分分，你的程序的输出只有和标准答案相差不超过\(0.001\)时，才能获得该测试点的满分，否则不得分。

测试数据设计使得精度误差不会超过 \(10^{-7}\) 。

对于\(40\%\)的测试数据，满足 \(N \le 10\)；

对于\(60\%\)的测试数据，满足 \(N \le 1 000\)；

对于\(100\%\)的测试数据，满足 \(N \le 100 000\)；

对于\(100\%\)的测试数据，满足：

\(0 < A_K \le 10\)；

\(0 < B_K \le 10\)；

\(0 < Rate_K\le 100\)；

\(MaxProfit \le 10^9\) ；

提示：

输入文件可能很大，请采用快速的读入方式。

必然存在一种最优的买卖方案满足：

每次买进操作使用完所有的人民币；

每次卖出操作卖出所有的金券。

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居然有提示，虽然还是比较显而易见的..

太久没写斜率优化式子都没转过去..

令\(dp_i\)代表第\(i\)天（还未决定买不买）的最大拥有金钱数量

\[dp_i=\max(dp_j,\frac{dp_jRate_j}{Rate_jA_j+B_j}\times A_i+\frac{dp_j}{Rate_jA_j+B_j}\times B_i)
\]

然后把和\(i\)与和\(j\)有关的项分开表示

\[dp_i=a_jA_i+b_jB_i
\]

转换一下

\[a_j=-b_j\frac{B_i}{A_i}+\frac{dp_i}{A_i}
\]

这就很标准的斜率优化了叭，但发现这些东西没啥单调性，于是不能简单的单调队列了。

可以拿平衡树动态维护，不过CDQ的做法会更好写常数也更小。

说一下CDQ大概的实现

左边的按\(x\)坐标排序以后\(O(n)\)弄出个斜率递减的凸包，右边直接按斜率从大到小排序，然后像归并那样边合并边做就好了。这样应该写起来是最简单的，尝试写二分但发现有点麻烦。

注意要还原右边。

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Code:

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using std::max;
const int N=1e5+10;
const double eps=1e-7;
const double inf=1e10;
struct node
{
    double a,b,c,k,ans;int id;
}q[N];
int s[N],tot,n;
double ans;
std::pair <double,double > poi[N];
bool cmp1(node n1,node n2){return n1.k>n2.k;}
bool cmp2(node n1,node n2){return n1.id<n2.id;}
double slope(int i,int j)
{
    double x=poi[i].first,y=poi[i].second,xx=poi[j].first,yy=poi[j].second;
    if(xx-x<eps) return inf;
    return (yy-y)/(xx-x);
}
void CDQ(int l,int r)
{
    if(l==r){q[l].ans=max(ans,q[l].ans),ans=max(ans,q[l].ans);return;}
    int mid=l+r>>1;
    CDQ(l,mid);
    for(int i=l;i<=mid;i++)
        poi[i]=std::make_pair(-q[i].ans/(q[i].a*q[i].c+q[i].b),q[i].ans/(q[i].a*q[i].c+q[i].b)*q[i].c);
    std::sort(poi+l,poi+mid+1);
    tot=0;
    for(int i=l;i<=mid;i++)
    {
        while(tot>1&&slope(s[tot-1],s[tot])+eps<slope((s[tot]),i)) --tot;
        s[++tot]=i;
    }
    std::sort(q+mid+1,q+r+1,cmp1);
    int lp=1;
    for(int i=mid+1;i<=r;i++)
    {
        while(lp<tot&&q[i].k+eps<slope(s[lp],s[lp+1])) ++lp;
        q[i].ans=max(q[i].ans,-poi[s[lp]].first*q[i].b+poi[s[lp]].second*q[i].a);
    }
    std::sort(q+mid+1,q+r+1,cmp2);
    CDQ(mid+1,r);
}
int main()
{
    scanf("%d%lf",&n,&ans);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lf%lf%lf",&q[i].a,&q[i].b,&q[i].c);
        q[i].id=i,q[i].k=q[i].b/q[i].a;
    }
    CDQ(1,n);
    printf("%.3lf\n",ans);
    return 0;
}

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2018.11.28