【杂题】[LibreOJ 2541] 【PKUWC2018】猎人杀【生成函数】【概率与期望】

Description

猎人杀是一款风靡一时的游戏“狼人杀”的民间版本，他的规则是这样的：

一开始有 n个猎人，第 i 个猎人有仇恨度 wi。每个猎人只有一个固定的技能：死亡后必须开一枪，且被射中的人也会死亡。

然而向谁开枪也是有讲究的，假设当前还活着的猎人有$[i_1...i_m]$，那么有$w_{i_k}\over \sum\limits_{j=1}^{m} w_{i_j}$的概率是向猎人$i_k$ 开枪

一开始第一枪由你打响，目标的选择方法和猎人一样（即有$w_{i}\over \sum\limits_{j=1}^{m} w_{j}$的概率射中第i个猎人）。由于开枪导致的连锁反应，所有猎人最终都会死亡，现在1号猎人想知道它是最后一个死的的概率。

对998244353取模

$w_i>0,\sum w_i\leq 100000$

Solution

首先有结论，我们假设可以对已经死亡的猎人开枪，对已经死亡猎人开枪之后继续开枪，那么问题是等价的。

这样就好做不少，因为每个人中枪的概率就固定了。

根据这个结论，我们来推一波式子。

我们可以将整个开枪过程看做是一个序列，每个数可以出现多次，每个数出现有概率，题目问的是1出现时其他所有数都已经出现过的概率。

考虑指数型生成函数，设$t=\sum w_k$，容易得出除1号外i号猎人的EGF是$$\sum\limits_{j>0}{w_i^jxj\over t^ji!}=e{w_ix\over t}-1$$

那么将这些猎人拼接，总的式子就是$$\prod\limits_{k=2}^{n}(e{w_kx\over t}-1)$$

假设有3个猎人，2,3号猎人拼在一起就是$e^{(w_2+w_3)x\over t}-e^{w_2x\over t}-e^{w_3x\over t}+1$

对于每个EGF，它对总概率的贡献就是其系数之和

对于$e^{px}$，将其系数求和（不考虑阶乘），就是等比数列求和的形式，可以得出和就是$1\over 1-p$

那么对于上面的式子，一样计算和，然后加到一起，最后再乘上$w_1/t$（最后一次要选上1号）

现在问题的关键就是要算上面的乘积的每一项$e^{px}，p\in[0,t]$的系数

我们可以把每个$e^{px}$也看做多项式的一项，因为同是指数相加，可以构造多项式$x^{w_k\over t}-1$，那么$$\prod\limits_{k=2}^{n}(x{w_k\over t}-1)$$

的每一项$x^{p}$前的系数就是原式中每一个$e^{px}$的系数

可以先不看t，用分治NTT做，最后再算上。

总复杂度$O(n\log^2 n)$

Code

#include <cstdio>

#include <iostream>

#include <cmath>

#include <cstring>

#include <cstdlib>

#include <algorithm>

#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)

#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)

#define M 262144

#define L 18

#define mo 998244353

#define LL long long

#define N 100005

using namespace std;

LL wi[M+1],wg[M+1],a[M+1],b[M+1],c[M+1],ny,w[N];

int a1[N],bit[M+1],sz[N],n1,n,sm[N],l2[M+1],cf[L+1],sum;

LL ksm(LL k,LL n)

{

	LL s=1;

	for(;n;n>>=1,k=k*k%mo) if(n&1) s=s*k%mo;

	return s;

}

void prp(int num)

{

	fo(i,0,num-1) bit[i]=(bit[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l2[num]-1));

	fo(i,0,num) wi[i]=wg[M/num*i];

	ny=ksm(num,mo-2);

}

void NTT(LL *a,bool pd,int num)

{

	LL v,w;

	fo(i,0,num-1) if(i<bit[i]) swap(a[i],a[bit[i]]);

	for(int m=2,lim=num>>1,half=1;m<=num;half=m,m<<=1,lim>>=1)

	{

		fo(i,0,half-1)

		{

			w=(!pd)?wi[i*lim]:wi[num-i*lim];

			for(int j=i;j<num;j+=m)

			{

				v=a[j+half]*w%mo;

				a[j+half]=(a[j]-v+mo)%mo;

				a[j]=(a[j]+v)%mo;

			}

		}

	}

	if(pd) fo(i,0,num-1) a[i]=a[i]*ny%mo;

}

void doit(int l,int r)

{

	if(l==r) return;

	int mi=sm[n],mid=l;

	fo(j,l,r-1) if(max(sm[j]-sm[l-1],sm[r]-sm[j])<mi) mi=max(sm[j]-sm[l-1],sm[r]-sm[j]),mid=j;

	doit(l,mid),doit(mid+1,r);

	int num=cf[l2[sz[mid+1]+sz[l]+1]];

	prp(num);

	fo(i,0,num-1) b[i]=c[i]=0;

	fo(i,0,sz[l]) b[i]=a[a1[l]+i];

	fo(i,0,sz[mid+1]) c[i]=a[a1[mid+1]+i];

	NTT(b,0,num),NTT(c,0,num);

	fo(i,0,num-1) b[i]=b[i]*c[i]%mo;

	NTT(b,1,num);

	sz[l]+=sz[mid+1];

	fo(i,0,sz[l]) a[a1[l]+i]=b[i];

}

int main()

{

	cin>>n;

	int l=-1;

	cf[0]=1;

	fo(i,1,18) cf[i]=(cf[i-1]<<1),l2[cf[i]]=i;

	fod(i,M-1,2) if(!l2[i]) l2[i]=l2[i+1];

	fo(i,1,n)

	{

		int c;

		scanf("%d",&w[i]);

		c=w[i],sum+=c;

		if(i!=1)

		{

			a1[i]=++l;

			a[l]=mo-1;

			l+=c;

			a[l]=1,sz[i]=c,sm[i]=sz[i]+sm[i-1];

		}

	}

	wg[0]=1;

	LL v=ksm(3,(mo-1)/M);

	fo(i,1,M) wg[i]=wg[i-1]*v%mo;

	doit(2,n);

	LL ans=0;

	fo(i,0,sm[n])

		ans=(ans+a[i]*(LL)sum%mo*ksm(sum-i,mo-2)%mo+mo)%mo;

	printf("%lld\n",ans*w[1]%mo*(LL)ksm(sum,mo-2)%mo);

}