[物理学与PDEs]书中一些对数学研究有用的引理

P 35--38

1.  若 ${\bf B}$ 为横场 ($\Div{\bf B}=0\ra {\bf k}\cdot {\bf B}=0\ra $ 波的振动方向与传播方向平行), 则 $$\bex \exists\ {\bf A},\st {\bf B}=\rot{\bf A}. \eex$$ 特别对任给的 $\psi$, 还可要求 $\Div{\bf A}=\psi$.

2.  若 ${\bf A}$ 为纵场 ($\rot{\bf A}={\bf 0}$), 则 $$\bex \exists\ \psi,\st {\bf A}=\n\psi.  \eex$$

3.  任一向量场都可分解为横场与纵场的叠加.

P 67-68

4.  任一向量场 ${\bf A}$ 都可分解为横场 ${\bf A}_T$ 与纵场 ${\bf A}_L$ 的叠加, 但只要在边界上 ${\bf A}_L\times{\bf n}=0$, 就有分解的唯一性, 且 ${\bf A}_L$ 有形式 ${\bf A}_L=-\n\psi$, 其中 $\psi$ 为 $$\beex \bea -\lap\psi=\Div{\bf A},&\quad\mbox{in }\Omega,\\ \psi=C,&\quad\mbox{on }\p\Omega \eea \eeex$$ 的解.

P 123-124

5.  任一向量场 ${\bf A}$ 都可分解为横场 ${\bf A}_T$ 与纵场 ${\bf A}_L$ 的叠加, 但只要在边界上 ${\bf A}_T\cdot {\bf n}=0$, 就有分解的唯一性, 且 ${\bf A}_T$ 为 $$\beex \bea -\Div{\bf A}_T=0,&\mbox{in }\Omega,\\ {\bf A}_T\cdot{\bf n}=0,&\mbox{on }\p\Omega \eea \eeex$$ 的解.

P 94-95

6.  设 $L=L(\xi_0,\xi_1,\cdots,\xi_n)$ 为其变元的严格凸函数, 且 $L_{\xi_0}<0$, 则 $\xi_0=\xi_0(L,\xi_1,\cdots,\xi_n)$ 也为其变元的严格凸函数.

P 95

7.  设 $L=L(\xi_0,\xi_1,\cdots,\xi_n)$ 为其变元 $\xi_0>0,\xi_1,\cdots,\xi_n$ 的严格凸函数, 则 $$\bex M=\cfrac{1}{\xi_0}L(\xi_0,\xi_1,\cdots,\xi_n) \eex$$ 关于变量 $$\bex \eta_0=\cfrac{1}{\xi_0},\quad \xi_1=\cfrac{\xi_1}{\xi_0},\cdots,\eta_n=\cfrac{\xi_n}{\xi_0} \eex$$ 是严格凸的.

P 200

引理 (极分解): 设 $|{\bf F}|\neq 0$, 则存在正交阵 ${\bf R}$ 及对称正定阵 ${\bf U},{\bf V}$ 使得 $$\bex {\bf F}={\bf R}{\bf U}={\bf V}{\bf R}. \eex$$  此称为 ${\bf F}$ 的极分解.

P 213

$({\bf a}\times {\bf b})_i=\ve_{ijk}a_jb_k$, 其中 $$\bex \ve_{ijk}=\sedd{\ba{lll} 1,&(i,j,k)\ is\ an\ even\ permuatation\ of\ (1,2,3),\\ -1,&(i,j,k)\ is\ an\ odd\ permuatation\ of\ (1,2,3),\\ 0,&others.  \ea} \eex$$

P 215

引理: 设 $\Omega$ 中 ${\bf x}$ 处的曲面微元 $\rd S_0$ (其单位法向量为 ${\bf n}$) 在变形 ${\bf y}={\bf y}(t,{\bf x})$ 下对应于 $\Omega_t$ 中的曲面微元 $\rd S_t$ (其单位法向量为 ${\bf \nu}$). 那么 $$\bex {\bf \nu}\rd S_t=J{\bf F}^{-T}{\bf n}\rd S_0, \eex$$  其中 ${\bf F}=(\n_x{\bf y})$, $J=|{\bf F}|$.

P 225

$$\beex \bea \lm_1\lm_2&+\lm_2\lm_3+\lm_3\lm_1=\cfrac{1}{2} \sez{(\lm_1+\lm_2+\lm_3)^2-(\lm_1^2+\lm_2^2+\lm_3^2)},\\ \lm_1\lm_2\lm_3&=\cfrac{1}{6}(\lm_1+\lm_2+\lm_3)^3 -\cfrac{1}{2}(\lm_1+\lm_2+\lm_3)(\lm_1^2+\lm_2^2+\lm_3^2) +\cfrac{1}{3}(\lm_1^3+\lm_2^3+\lm_3^3). \eea \eeex$$

P 263

设 $3\times 3$ 阵 ${\bf A}$ 的特征值为 $\lm_1,\lm_2,\lm_3$, 证明 $\cof {\bf A}$ 的特征值为 $$\bex \lm_2\lm_3,\quad \lm_3\lm_1,\quad \lm_1\lm_2.  \eex$$