【BZOJ】【1096】【ZJOI2007】仓库建设

DP/斜率优化

---

　　Orz Hzwer

八中好像挂了……明天再提交吧……

UPD：2015-03-12 17:24:43

　　算了，毕竟是第一道题，还是仔细写一下斜率优化的过程吧。（部分引自Hzwer的题解）

　　首先我们根据题意可以列出动规方程 $$ f[i]=min\{ f[j]+cal(j,i) \}$$

　　处理$cal(j,i)$可以利用前缀和的思想，令$ sum[i]=\sum_{k=1}^{i} p[k] $

　　对于物品$1 ~ i$，如果都从$0$运到$i$，则费用为$(sum[i]-sum[j])*x[i]$

　　但由于物品的起始点不都在0，所以对于每个物品$k$可以少花费$x[k]*p[k]$

　　定义$b[i]=\sum_{k=1}^{i} (x[k]*p[k]) $

　　可得 $ f[i]=min\{ f[j]+(sum[i]-sum[j])*x[i]-(b[i]-b[j])+c[i] \} $

　　下面证明决策单调性：

　　　　如果$ j > k $ 且$j$比$k$更优，则有：

\[ \begin{aligned} f[j]+(sum[i]-sum[j])*x[i]-(b[i]-b[j])+c[i] &< f[k]+(sum[i]-sum[j])*x[i]-(b[i]-b[k])+c[i] \\ f[j]-f[k]+b[j]-b[k] &< (sum[j]-sum[k])*x[i] \\ \frac{f[j]-f[k]+b[j]-b[k]}{sum[j]-sum[k]} &< x[i] \end{aligned} \]

　　至于为什么要证这个东西请看论文：《动态规划的斜率优化》

　　嗯我们现在就知道了对于每个状态$i$，从1 ~ i-1这些决策中的“当前最优决策”是有一个单调性的！比如我们从1开始枚举到 k ，发现 k 是一个最优决策可以更新答案f[i]，然后我们继续枚举直到决策 j ，满足上面那个不等式！则表明决策 j 比决策 k 更优！那么有什么用呢？我们根据不等式发现，这个“更优”的属性，只跟 j 和 k 有关，与阶段 i 是无关的！也就是说，当 j 成为一个可选的方案的时候，k 就永远也不用再考虑它了，这就大大减少了转移时的决策数！从而降低了复杂度！

　　说的好像很厉害……那具体操作的时候怎么操作呢？

　　我们用一个队列q来维护一个斜率单调的决策序列：

　如果slop(q[l],q[l+1])<x[i]（参考上面推出的不等式）则说明q[l+1]这个决策比q[l]这个决策更优，所以l++舍弃队首

　算出dp[i]

　如果slop(q[r-1],q[r])>slop(q[r],i)，则队尾处不满足单调，所以要弹队尾直到满足单调性（联系凸壳的图形想想）

　插入决策 i 到队列尾部

　　当然如果换了一道求max的题，则不等号方向是要改变的……

 /**************************************************************
     Problem: 1096
     User: Tunix
     Language: C++
     Result: Accepted
     Time:1784 ms
     Memory:52052 kb
 ****************************************************************/

 //BZOJ 1096
 #include<cstdio>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
 #define pb push_back
 using namespace std;
 int getint(){
     int v=,sign=; char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){ if (ch=='-') sign=-; ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){ v=v*+ch-''; ch=getchar();}
     return v*sign;
 }
 const int N=;
 typedef long long LL;
 /******************tamplate*********************/
 int n,l,r,q[N];
 LL p[N],x[N],c[N],f[N],b[N],sp[N];
 inline double slop(int k,int j){
     return double(f[j]-f[k]+b[j]-b[k])/double(sp[j]-sp[k]);
 }
 int main(){
     int n=getint();
     F(i,,n){
         x[i]=getint(); p[i]=getint(); c[i]=getint();
         sp[i]=sp[i-]+p[i]; b[i]=b[i-]+p[i]*x[i];
     }
     F(i,,n){
         while(l<r && slop(q[l],q[l+])<x[i]) l++;
         int t=q[l];
         f[i]=f[t]-b[i]+b[t]+(sp[i]-sp[t])*x[i]+c[i];
         while(l<r && slop(q[r-],q[r])>slop(q[r],i))r--;
         q[++r]=i;
     }
     printf("%lld\n",f[n]);
     return ;
 }