【数据结构】通用的最小堆（最大堆）D-ary Heap

听说有一种最小（大）堆，不限于是完全二叉树，而是完全D叉树，名为D-ary Heap（http://en.wikipedia.org/wiki/D-ary_heap）。D可以是1，2，3，4，100，对于优先队列该有的功能都没有问题。

动手写一个D-ary Heap，应该不难。简单起见，不考虑像STL一样通过template传入Comp类，下面的实现要求T类型重载了operator <和operator >。

template<class T>
class DaryHeap
{
    size_t D;
    size_t size;
    vector<T> a;
    ...
};

用vector容器存储数据，是因为在优先队列的插入、构建、删除操作需要RandomAccessIterator，而使用deque或其他STL容器都将影响性能。

为了节约点访问vector::size()函数的代价，用size_t size记录堆的大小。这也许没有必要，因为编译器可能对size()的调用做优化，而且访问size()的次数也并不多。

然后写堆的基本操作，即元素的上移下移。完全D叉树的性质和二叉树差不多，甚至可以推广到1叉树（数组）。

    void up(size_t i)
    {
        while(i)
        {
            size_t p = (i-)/D;
            if(a[p]>a[i])
            {
                swap(a[p], a[i]);
                i = p;
            }
            else break;
        }
    }
    void down(size_t i)
    {
        size_t ii;
        size_t min = i*D+;
        while(min<size)
        {
            for(ii=i*D+; ii<size; ii++)
                if(a[min] > a[ii]) min = ii;
            if(a[min]<a[i])
            {
                swap(a[min], a[i]);
                i = min;
                min = i*D+;
            }
            else break;
        }
    }

写好了这两个函数，堆的插入删除排序构建就都一样了：

    DaryHeap(int _D=):size()
    {
        if(_D<) D=;
        else D=_D;
    }
    size_t getsize(){return size;}
    void push(T& x)
    {
        a.push_back(x);
        up(size++);
    }
    T& top()
    {
        if(size)
            return a[];
    }
    void pop()
    {
        if(size)
        {
            a[] = a[--size];
            a.pop_back();
            down();
        }
    }

最后测试：

main()
{
    DaryHeap<int> h();
    for(int i=; i>; i--)
    {
        h.push(i);
  //      h.print();
    }
    for(int i=; i>; i--)
    {
        cout <<h.top()<<ends;
        h.pop();

    }
}

D-ary Heap的定义是：

1  逻辑上是一个完全多叉树；

2  每个父节点有最多D个子节点；

3  子节点永远比父节点大（小），前提是节点具有可比性。

性质：

1  父节点=(子节点-1)/D；

2  子节点=父节点*D+i (i=1, 2, ..., D)；

操作：

1  插入时将新插入元素放在最尾端，并与父节点交换位置直到比父节点大，即up操作。

2  从一个数组a构建成一个D-ary Heap，即需要每一个a[i](i>1)做如上的up操作。

3  删除一个节点时，将尾部的节点复制到待删除节点的位置，size-=1，然后将新复制节点从待删除节点开始向下移动，直到所有的子节点都比新复制节点大，down操作。至于怎么求子节点中最小的那个，要么去构建个局部的最小堆，要么就只好遍历咯。

4  排序：每一次将堆的根节点与尾节点a[size-1]交换，同时size-=1，再调整新根节点的位置（就是将堆首删除后拿到数组尾端。）

总的来说，和熟为人知的二叉树除了up和down有一点点不同，其他的一模一样。