NC16466 [NOIP2015]信息传递

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题目

题目描述

有 n 个同学（编号为 1 到 n）正在玩一个信息传递的游戏。在游戏里每人都有一个固定的信息传递对象，其中，编号为 i 的同学的信息传递对象是编号为Ti的同学。

游戏开始时，每人都只知道自己的生日。之后每一轮中，所有人会同时将自己当前所知的生日信息告诉各自的信息传递对象（注意：可能有人可以从若干人那里获取信息， 但是每人只会把信息告诉一个人，即自己的信息传递对象）。当有人从别人口中得知自己的生日时，游戏结束。请问该游戏一共可以进行几轮?

输入描述

第 1 行包含 1 个正整数 n，表示 n 个人。第 2 行包含 n 个用空格隔开的正整数T1,T2, … … ,Tn，其中第 i 个整数Ti表示编号为 i 的同学的信息传递对象是编号为Ti的同学，Ti≤ n 且Ti≠ i。数据保证游戏一定会结束。

输出描述

1个整数，表示游戏一共可以进行多少轮。

示例1

输入

5
2 4 2 3 1

输出

3

说明

游戏的流程如图所示。当进行完第3 轮游戏后，4 号玩家会听到2 号玩家告诉他自己的生日，所以答案为3。当然，第3 轮游戏后，2 号玩家、3 号玩家都能从自己的消息来源得知自己的生日，同样符合游戏结束的条件。

备注

对于30%的数据，n≤ 200；

对于60%的数据，n≤ 2500；

对于100%的数据,n≤ 200000。

题解

知识点：并查集，图论。

这道题实际求一个最小环，用dfs也能解决，这里用并查集。

每次增加一条单向边，起点 \(i\) 一定是出度为 \(0\) 的点，即一个集合的祖先。因此，我们用并查集维护一个集合每个点到祖先的距离（链长）。

对于合并 \((i,j)\) ，如果两个点在同一个集合，则 \(j\) 的链长加 \(1\) 即环大小，取所有环最小值即可；如果不在一个集合，则祖先点 \(i\) 的权值应修改为，\(j\) 的权值加 \(1\) ，因为 \((i,j)\) 也是一条边。

路径压缩照常即可。

时间复杂度 \(O(n \log n)\)

空间复杂度 \(O(n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;

struct DSU {
    vector<int> fa, Size;

    explicit DSU(int n) :fa(n + 1), Size(n + 1) {
        for (int i = 1;i <= n;i++)
            fa[i] = i;
    }

    void init(int n) {
        for (int i = 1;i <= n;i++)
            fa[i] = i, Size[i] = 0;
    }

    int find(int x) {
        if (fa[x] == x) return x;
        int tmp = fa[x];
        fa[x] = find(fa[x]);
        Size[x] += Size[tmp];
        return fa[x];
    }

    bool same(int x, int y) { return find(x) == find(y); }

    void merge(int x, int y) {
        int a = find(x), b = find(y);
        if (a == b) return;
        Size[x] = Size[y] + 1;//x本身肯定是根节点(结论),指向另一个集合的某点，那么权值则是指向的那个点权值加一
        fa[a] = b;
    }
};

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    DSU dsu(n);//建立节点指向根节点的带方向的集合，根节点是传递信息的终点，节点权值为到根节点的距离
    int ans = n;
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        int j;
        cin >> j;//注意，i一定是某个集合的根节点，因为出度为0
        if (dsu.same(i, j)) ans = min(ans, dsu.Size[j] + 1);//集合根节点指向集合自身的某个点，则出现环，答案为j到根节点的距离加一
        dsu.merge(i, j);
    }
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}