NC16850 [NOI1998]免费馅饼

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题目

题目描述

SERKOI最新推出了一种叫做“免费馅饼”的游戏:游戏在一个舞台上进行。舞台的宽度为W格，天幕的高度为H格，游戏者占一格。开始时游戏者站在舞台的正中央，手里拿着一个托盘。下图为天幕的高度为4格时某一个时刻游戏者接馅饼的情景。

游戏开始后，从舞台天幕顶端的格子中不断出现馅饼并垂直下落。游戏者左右移动去接馅饼。游戏者每秒可以向左或向右移动一格或两格，也可以站在原地不动。

馅饼有很多种，游戏者事先根据自己的口味，对各种馅饼依次打了分。同时，在8-308电脑的遥控下，各种馅饼下落的速度也是不一样的，下落速度以格/秒为单位。

当馅饼在某一秒末恰好到达游戏者所在的格子中，游戏者就收集到了这块馅饼。

写一个程序，帮助我们的游戏者收集馅饼，使得所收集馅饼的分数之和最大。

输入描述

第一行是用空格隔开的两个正整数，分别给出了舞台的宽度W（1到99之间的奇数）和高度H（1到100之间的整数）。

接下来依馅饼的初始下落时间顺序给出了所有馅饼的信息。每一行给出了一块馅饼的信息。由四个正整数组成，分别表示了馅饼的初始下落时刻（0到1000秒），水平位置、下落速度（1到100）以及分值。游戏开始时刻为0。从1开始自左向右依次对水平方向的每格编号。

输入文件中同一行相邻两项之间用一个或多个空格隔开

输出描述

第一行给出了一个正整数，表示你的程序所收集的最大分数之和。

其后的每一行依时间顺序给出了游戏者每秒的决策。输出0表示原地不动、1或2表示向右移动一步或两步、-1 或-2表示向左移动一步或两步。输出应持续到游戏者收集完他要收集的最后一块馅饼为止

示例1

输入

3 3
0 1 2 5
0 2 1 3
1 2 1 3
1 3 1 4

输出

12
-1
1
1

题解

知识点：线性dp。

显然不能模拟馅饼掉落，复杂度太高。考虑线性dp。

先找到可能掉到高度为 \(1\) 的地方馅饼，因为其他馅饼不可能被获得。在把时间作为一轴，横坐标作为水平位置，开一个数组 \(a\) 标记馅饼，一个馅饼如果在 \(t\) 时掉在水平位置 \(x\) 处，则其价值应该存于为 \(a[t][x]\) 。这样就表达了整个题目的有效信息。

一个馅饼在 \(w\) 的当前仅当速度 \(v\) 整除实际掉落高度 \(H-1\) 时，才一定会在 \(t+\frac{H-1}{v}\) 时刻掉落到高度为 \(1\) 的地方从而有可能被吃掉，而我们只需要记录这种馅饼的价值在 \(a[t+\frac{H-1}{v}][w]\) 即可。并且我们顺便可以把最晚落下的馅饼时间记录在 \(maxt\) ，作为一个时间边界。

但是注意这里不只是求最大价值，还要求路径。

试想如果我们正推，从起点 \(\lfloor \frac w2 \rfloor +1\) 开始，出发从第 \(0\) 秒推到 \(maxt\) ，我们最后可以通过枚举 \(dp[maxt][1\cdots w]\) 中的最大值作为答案，但是找路径推回去会有个问题，上一时刻同时存在很多个点是潜在上一个路径点，我们要保证逆推要推回唯一起点，但我们不确定这些点哪个点可行的，如果枚举这些点一定超时，当然你也可以一开始推的时候就只推起点能到的点，第一秒可能只推五个，第二秒可能推九个，其他点都是负无穷，大概也是可以，但这过于麻烦。我们完全可以从第 \(maxt\) 秒逆推回第 \(0\) 秒，然后答案就是 \(dp[0][\lfloor \frac w2 \rfloor +1]\) ，而路径直接从 \((0,\lfloor \frac w2 \rfloor +1)\) 逆推，无论推到哪里都是合法的，因为起点固定了。这样就做完了。

时间复杂度 \(O(w(H+t))\)

空间复杂度 \(O(w(H+t))\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;

int a[1107][107];
int dp[1107][107];

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int W, H;
    cin >> W >> H;
    int t, w, v, s;
    int maxt = 0;
    while (cin >> t >> w >> v >> s) {
        if ((H - 1) % v == 0) {
            a[t + (H - 1) / v][w] += s;
            maxt = max(maxt, t + (H - 1) / v);
        }
    }
    for (int i = maxt;i >= 0;i--) {
        for (int j = 1;j <= W;j++) {
            for (int k = -2;k <= 2;k++) {
                int pos = j + k;
                if (pos >= 1 && pos <= W) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i + 1][pos] + a[i][j]);
            }
        }
    }
    int pre = W / 2 + 1;
    cout << dp[0][pre] << '\n';
    for (int i = 1;i <= maxt;i++) {
        for (int j = -2;j <= 2;j++) {///不要忘了第一个要求是要走得到
            int pos = pre + j;
            if (pos >= 1 && pos <= W && dp[i][pos] == dp[i - 1][pre] - a[i - 1][pre]) {
                cout << j << '\n';
                pre = pos;
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}