[BZOJ 2242] [SDOI 2011] 计算器

Description

你被要求设计一个计算器完成以下三项任务：

1. 给定 \(y,z,p\)，计算 \(y^z \bmod p\) 的值；
2. 给定 \(y,z,p\)，计算满足 \(xy≡ z \pmod p\) 的最小非负整数；
3. 给定 \(y,z,p\)，计算满足 \(y^x ≡ z \pmod p\) 的最小非负整数。

Input

输入包含多组数据。

第一行包含两个正整数 \(T,K\)，分别表示数据组数和询问类型（对于一个测试点内的所有数据，询问类型相同）。

以下行每行包含三个正整数 \(y,z,p\)，描述一个询问。

Output

对于每个询问，输出一行答案。

对于询问类型 \(2\) 和 \(3\)，如果不存在满足条件的，则输出“Orz, I cannot find x!”，注意逗号与“I”之间有一个空格。

Sample Input

3 1
2 1 3
2 2 3
2 3 3

3 2
2 1 3
2 2 3
2 3 3

Sample Output

2
1
2

2
1
0

HINT

\(1\le y,z,p\le 10^9\)，\(p\)为质数，\(1\le T\le10\)

Solution

询问 \(2\)

\[ax\equiv b\pmod p\\
\Downarrow\\
ax-kp=b
\]

该方程有解的充要条件为 \(\gcd(a,p)\mid b\)，答案为 \(b\times a^{-1}\bmod p\)。

询问 \(3\)

给定 \(a,b,p\)，求最小的非负整数 \(x\)，满足

\[a^x\equiv b\pmod p
\]

根据费马小定理可知

\[a^x\equiv a^{x \bmod p-1}\pmod p
\]

因此 \(x\) 从 \(0\) 枚举到 \(p-2\) 即可。

设 \(m={\left\lceil\sqrt p\right\rceil},x=i\times m-j\)，有

\[a^{i\times m-j}\equiv b\pmod p
\]

移项得

\[(a^m)^i\equiv a^jb\pmod p
\]

首先从 \(0\dots m\) 枚举 \(j\)，将得到的 \(a^jb\) 的值存入 \(hash\) 表中，然后从 \(1\dots m\) 枚举 \(i\)，若表中存在 \((a^m)^i\)，则当前 \(i\times m-j\) 即为答案。

Code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <tr1/unordered_map>

std::tr1::unordered_map<int,int> hash;

int read() {
	int x = 0; char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9') c = getchar();
	while (c >= '0' && c <= '9') x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
	return x;
}
int gcd(int a, int b) {
	return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
int fastpow(int a, int b, int p) {
	int res = 1;
	for (; b; b >>= 1, a = 1LL * a * a % p)
		if (b & 1) res = 1LL * res * a % p;
	return res;
}
void bsgs(int a, int b, int p) {
	if (a % p == 0) { puts("Orz, I cannot find x!"); return; }
	int m = ceil(sqrt(p)), t = 1;
	hash.clear(), hash[b % p] = 0;
	for (int i = 1; i <= m; ++i)
		t = 1LL * t * a % p, hash[1LL * t * b % p] = i;
	a = t;
	for (int i = 1; i <= m; ++i, t = 1LL * t * a % p)
		if (hash.count(t)) { printf("%d\n", i * m - hash[t]); return; }
	puts("Orz, I cannot find x!");
}
int main() {
	int T = read(), K = read();
	while (T--) {
		int a = read(), b = read(), p = read();
		if (K == 1) printf("%d\n", fastpow(a, b, p));
		else if (K == 2) {
			if (b % gcd(a, p)) puts("Orz, I cannot find x!");
			else printf("%lld\n", 1LL * b * fastpow(a, p - 2, p) % p);
		} else bsgs(a, b, p);
	}
	return 0;
}