dp入门之01背包问题

...通过暴力手推得到的一点点感觉

　　动态规划是相对于贪心算法的一种取得最优解的算法，通过对每一步的取舍判断从 0 推到所拥有的第 n 件物品，每次判断可以列写出状态转移方程，通过记忆化相对暴力地取得最优解，如果有 n 件物品，容量为 m 的背包，则时间复杂度为 O(n*m)

状态转移方程如下：

for(int i=;i<=n;i++)
        for(int j=;j<=m0;j++)
        {
            if(j>=w[i])
            {
                dp[i][j]=max(dp[i-][j-w[i]]+v[i],dp[i-][j]);
            }
            else
            {
                dp[i][j]=dp[i-][j];
            }
        }

程序如下：

#include "iostream"
#include "stdio.h"
using namespace std;
int w[],v[];
int dp[][];
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
    }
    for(int i=;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            if(j>=w[i])
            {
                dp[i][j]=max(dp[i-][j-w[i]]+v[i],dp[i-][j]);
            }
            else
            {
                dp[i][j]=dp[i-][j];
            }
        }
    printf("%d",dp[n][m]);
    return ;
}

考虑使用动态规划时，应先判断是否满足动态规划所需要的两个特性：

1. 无后效性：简单来说就是过去与未来无关，只需要知道过去所取得最优解的结果，对于怎么取得的并不关心（比如本题中取得 f(3,5)=7时，只知道7是由 f ( 2 , 2 ) + v [ 3 ] = 3 + 4 = 7,并不关心过去的 f(2,2)时怎么得来的；
2. 最优子结构性：即“大问题的最优解可以由小问题的最优解推出”（比如本题中得到的每一个 f ( i , j )都是判断是否舍去前一个 i 所带的信息

题目可以试做洛谷1048采药：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1048

据说使用二维数组的空间复杂度太高，数据小大就会爆内存，因此便有一维数组的dp：

核心代码：

for(int i=;i<=m;i++)
　　for(int j=t;j>=;j--)
　　　　if(j>=w[i])
　　　　　　dp[j]=max(dp[j-w[i]]+val[i], dp[j]);
　　　　else dp[j]=dp[j];

正确性证明 ：我还不会 :)谁来教教我orz