C - A New Function (整除分块 + 玄学优化)

题目链接:https://cn.vjudge.net/contest/270608#problem/C

题目大意:给你一个n,让你求从1->n中间每个数的因子之和(每个数在求因子的过程中不包括本身和1)

具体思路:n是到2e9,首先暴力肯定是不可取的,然后我们可以通过以下两个优化将复杂度降到O( sqrt(n) )左右.

第一个优化,通过打表我们可以观察到,出现次数为k的可能不止一个数,所以我们可以一次性的将出现次数为k的一次全部算出来,再对这些数进行求和,这些数都是连续的,可以直接用等差数列求和的公式.然后如果只有这一个优化的话,也肯定不行(我们需要求出现2->n-1次的..)

第二个优化,对于一个数k,在n中出现的次数是(n/i-1)次的,然后这又是一个优化.

最后,我们可以前sqrt(n)项用第一个优化,后sqrt(n)项用第二个优化没然后复杂度就大大降低了.

AC代码:

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
# define ll long long
# define inf 0x3f3f3f3f
const int maxn = 100000+100;
int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    int Case=0;
    while(T--)
    {
        ll n;
        cin>>n;
        ll ans=sqrt(n);
        ll sum=0;
        ll nex,pos=n/2;//出现两次的数的终点
        for(int i=2; i<=ans; i++)
        {
            nex=n/(i+1);//当i为2是,nex是出现两次的起点
            sum+=(i-1)*(pos-(nex+1)+1)*(pos+nex+1)/2;//用等差数列求和的公式.
            pos=nex;
        }
        for(int i=2; i<=pos; i++)
        {
            sum+=(n/i-1)*i;
        }
        cout<<"Case "<<++Case<<": "<<sum<<endl;
    }
    return 0;
}