博弈论教程（A Course in Game Theory）摘录

P4
在我们所研究的模型中，决策主体往往要在不确定条件下进行决策。参与人可能：

• 不能确定环境的客观因素；
• 对博弈中发生的事件不很清楚；
• 不能确定别的不确定参与人的行动；
• 不能确定别的参与人的推理。
  为了对不确定情形下的决策建模，几乎所有的博弈论都是用了von Neuman和Morgenstern(1994)及Savage（1972）的理论。也就是，如果结果函数是随机的并被决策主体已知（即，对每一个\(a \in A\)， 结果\(g(a)\)是集合\(C\)上的一个不确定事件（概率分布），那么决策主体就被认为是为了最大化一个函数期望值（v-N-M效用)去行动，这个函数给每个结果赋一个值。如果行动与结果间的随机联系未给定，这个决策主体就被认为是按他心中的一个（主观的）概率分布去行动，这个分布决定了任何行动的结果。在这种情形下决策主体被认为将这种行动，即他心中有一个“状态空间”\(\Omega\), 一个\(\Omega\)上的一个概率测度，一个函数\(g : A \times \Omega \to C\), 和一个效用函数\(u : C \to \mathbb{R}\); 他被认为考虑到概率测度去选择一个行动\(a\)来最大化期望值\(u(g(a, \omega))\).--
  P6 : 术语与标记--
  如果对所有\(x \in \mathbb{R}, x^' \in \mathbb{R}\)及\(a \in [0, 1], f(ax + (1 - a)x^') \geq af(x) + (1 - a)f(x^')\), 则函数\(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)为一个凹函数。给定一个函数\(f : X \to \mathbb{R}\), 我们用\(arg max_{x \in X}f(x)\)表示\(f\)的最大值集合，对任何\(Y \subseteq X\), 用\(f(Y)表示集合{f(x) : x \in Y}. 我们用N表示参与人集合。将某个变量的值的集合（每个参与人都对应一个）作为一个*组合*(profile), 用\)(x_i){i \in N)\(表示。或者，假定两次“\)i \in N\(”是确定的，则简单几位\)(x_i)\(. 给定列表\)x{-i} = (x_j){j \in N \diagdown {i}}\(和一个元素\)x_i\(, 我们用\)(x{-i}, x_i)\(表示组合\)(x_i){i \in N}\(. 如果对每个\)i \in N, \textbf{X}i\(是一个集合， 则我们用\)\textbf{X}{-i}\(表示集合\)\times{i \in N \diagdown {i}}\textbf{X}_j$.