HDU 2582 规律 素因子

定义$Gcd(n)=gcd(\binom{n}{1},\binom{n}{2}...\binom{n}{n-1})$,$f(n)=\sum_{i=3}^{n}{Gcd(i)}$，其中$(3<=n<=1000000)$。

由于组合数是二项式，Gcd()则是把首位两项去掉后所有项间进行gcd，那么我们可知当n为素数时，根据组合数公式，该素数不可能被其分母阶乘中的某个数除掉，那么每项都有该素数留下来，所以$Gcd(p) = p$，再推广，如果该数是某单个素数的幂指倍，那么同理仍然会有素数留下来所以$Gcd(p^x)=p$，而剩下的其余数，由于分母是阶乘，小于分子n的数都有可能出现，其中包括了n的因子，那么肯定会使gcd=1。手推一下就知道了。

然后就是筛。

/** @Date    : 2017-09-20 20:19:04
  * @FileName: HDU 2582 规律 素因子 phi-mu.cpp
  * @Platform: Windows
  * @Author  : Lweleth (SoungEarlf@gmail.com)
  * @Link    : https://github.com/
  * @Version : $Id$
  */
#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define PII pair<int ,int>
#define MP(x, y) make_pair((x),(y))
#define fi first
#define se second
#define PB(x) push_back((x))
#define MMG(x) memset((x), -1,sizeof(x))
#define MMF(x) memset((x),0,sizeof(x))
#define MMI(x) memset((x), INF, sizeof(x))
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1e6+20;
const double eps = 1e-8;

LL pri[N];
LL ans[N];
int c = 0;
void prime()
{
	MMF(ans);
	for(int i = 2; i <= 1000000; i++)
	{
		if(!ans[i])
		{
			//pri[c++] = i;
			for(LL j = i + i; j <= 1000000; j+=i)
				if(!ans[i]) ans[j] = 1;
			for(LL j = i; j <= 1000000; j*=i)
				ans[j] = i;
		}
	}
	for(int i = 4; i <= 1000000; i++)
		ans[i] += ans[i - 1];
}

int main()
{
	int n;
	prime();
	while(cin >> n) printf("%lld\n", ans[n]);
    return 0;
}